《2025年作业本浙江教育出版社九年级数学上册浙教版》

4. 已知二次函数 $ y=\frac{1}{2}x^2 -x -4 $.
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出该函数的大致图象.
（2）当 $ x $ 取何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？当 $ x $ 取何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？求出函数的最大值或最小值.

答案： （1）顶点坐标是$\left(1,-\dfrac{9}{2}\right)$,对称轴是直线$x=1$,与$x$轴交于点$(4,0),(-2,0)$,与$y$轴交于点$(0,-4)$.图象略
（2）当$x\geqslant1$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x\leqslant1$时,$y$随$x$的增大而减小.当$x=1$时,$y_{最小}=-\dfrac{9}{2}$

5. 根据下列条件，分别求二次函数的表达式.
（1）已知二次函数的图象经过点 $ (-2,-1) $，且当 $ x=-1 $ 时，函数有最大值 2.
（2）已知二次函数图象的对称轴是直线 $ x=1 $，与坐标轴交于点 $ (0,-1) $，$ (-1,0) $.

答案： $(1)$
解：已知当$x = - 1$时，函数有最大值$2$，根据二次函数顶点式$y=a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标），可得二次函数的顶点式为$y=a(x + 1)^2+2$（$a\lt0$，因为有最大值）。
把点$(-2,-1)$代入$y=a(x + 1)^2+2$中，得到$-1=a(-2 + 1)^2+2$，即$-1=a×1 + 2$。
移项可得$a=-1 - 2=-3$。
所以二次函数表达式为$y=-3(x + 1)^2+2=-3(x^{2}+2x + 1)+2=-3x^{2}-6x - 3 + 2=-3x^{2}-6x - 1$。
$(2)$
解：设二次函数的一般式为$y=ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）。
已知对称轴$x =-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$；图象过点$(0,-1)$，则$c = - 1$；图象过点$(-1,0)$，则$a - b + c = 0$。
把$b=-2a$，$c = - 1$代入$a - b + c = 0$中，得到$a-(-2a)-1 = 0$，即$a + 2a-1 = 0$，$3a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$。
因为$b=-2a$，所以$b=-\frac{2}{3}$。
所以二次函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x - 1$。
综上，$(1)$的表达式为$\boldsymbol{y=-3x^{2}-6x - 1}$；$(2)$的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x - 1}$。

6. 已知抛物线的对称轴是直线 $ x=2 $，顶点在直线 $ y=x-1 $ 上，并且经过点 $ (3,-8) $.
（1）求这条抛物线的函数表达式.
（2）若点 $ (1,y_1) $ 和 $ (4,y_2) $ 都在这条抛物线上，试判断 $ y_1 $，$ y_2 $ 的大小关系.

答案： （1）$y=-9(x-2)^{2}+1$ （2）$y_{1}＞y_{2}$