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5. 如图,
AB是⊙O的直径,弦AC= $8\sqrt{3}$,D是$\widehat{AC}$的中点,且CD//AB. 求CD的长.
AB是⊙O的直径,弦AC= $8\sqrt{3}$,D是$\widehat{AC}$的中点,且CD//AB. 求CD的长.
答案：
1. 首先，连接$OD$交$AC$于点$E$：
因为$D$是$\widehat{AC}$的中点，根据垂径定理的推论（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），所以$OD\perp AC$，$AE = CE=\frac{1}{2}AC$。
已知$AC = 8\sqrt{3}$，则$AE=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
又因为$CD// AB$，$OD\perp AC$，所以$\angle OEA=\angle CDE = 90^{\circ}$。
设$OA = OD = r$。
由于$CD// AB$，所以$\angle A=\angle ACD$，又因为$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，所以$\angle A=\angle ACD=\angle CAD$，则$\triangle ACD$是等边三角形（有两个角是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形，这里$\angle A=\angle ACD=\angle CAD = 60^{\circ}$），那么$\angle A = 60^{\circ}$。
2. 然后，在$Rt\triangle AOE$中：
根据三角函数$\sin A=\frac{OE}{OA}$，$\cos A=\frac{AE}{OA}$。
因为$\angle A = 60^{\circ}$，$AE = 4\sqrt{3}$，$\cos A=\cos60^{\circ}=\frac{AE}{OA}$，即$\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{r}$，解得$r = 8$。
再根据$\sin A=\sin60^{\circ}=\frac{OE}{OA}$，$OE = OA\sin60^{\circ}=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
因为$OD = 8$，所以$DE=OD - OE=8 - 4\sqrt{3}$。
3. 最后，在$Rt\triangle CDE$中：
因为$\angle DCE = 30^{\circ}$（$\angle ACD = 60^{\circ}$，$\angle OCA=\angle A = 60^{\circ}$，$\angle OCD=\angle ACD-\angle OCA = 30^{\circ}$），$\cos\angle DCE=\frac{DE}{CD}$。
又因为$\angle CDE = 90^{\circ}$，$\angle DCE = 30^{\circ}$，设$CD=x$，则$DE=\frac{1}{2}x$（在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半）。
同时，由$OE\perp AC$，$CD// AB$，$OA = OC$，$\angle A = 60^{\circ}$，$\triangle AOC$是等边三角形，$OE$是$\triangle AOC$的高，$OE = 4\sqrt{3}$，$OD = 8$，$DE=OD - OE$，且$\triangle CDE$中，$\cos30^{\circ}=\frac{DE}{CD}$。
另一种方法：
因为$D$是$\widehat{AC}$的中点，所以$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，$\angle AOD=\angle COD$。
又因为$CD// AB$，所以$\angle AOD=\angle ODC$，而$OC = OD$，所以$\angle OCD=\angle ODC$，$\angle AOD=\angle COD=\angle OCD=\angle ODC$。
因为$OA = OC$，$OD\perp AC$，$\angle A = 60^{\circ}$，$\triangle AOC$是等边三角形，$\angle AOC = 60^{\circ}$，则$\angle COD = 60^{\circ}$。
又因为$OC = OD$，所以$\triangle OCD$是等边三角形。
连接$OC$，在$Rt\triangle AOE$中，$OA = OC$，$AE=\frac{1}{2}AC = 4\sqrt{3}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$OA=\frac{AE}{\cos60^{\circ}}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 8$。
因为$\angle AOC = 60^{\circ}$，$D$是$\widehat{AC}$中点，所以$\angle COD=\frac{1}{2}\angle AOC = 60^{\circ}$，且$OC = OD$。
所以$\triangle OCD$是等边三角形，$CD = OC$。
因为$OC = OA$（都是圆的半径），$OA=\frac{AE}{\cos60^{\circ}}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 8$。
所以$CD = 8$。
因为$D$是$\widehat{AC}$的中点，根据垂径定理的推论（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），所以$OD\perp AC$，$AE = CE=\frac{1}{2}AC$。
已知$AC = 8\sqrt{3}$，则$AE=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
又因为$CD// AB$，$OD\perp AC$，所以$\angle OEA=\angle CDE = 90^{\circ}$。
设$OA = OD = r$。
由于$CD// AB$，所以$\angle A=\angle ACD$，又因为$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，所以$\angle A=\angle ACD=\angle CAD$，则$\triangle ACD$是等边三角形（有两个角是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形，这里$\angle A=\angle ACD=\angle CAD = 60^{\circ}$），那么$\angle A = 60^{\circ}$。
2. 然后，在$Rt\triangle AOE$中：
根据三角函数$\sin A=\frac{OE}{OA}$，$\cos A=\frac{AE}{OA}$。
因为$\angle A = 60^{\circ}$，$AE = 4\sqrt{3}$，$\cos A=\cos60^{\circ}=\frac{AE}{OA}$，即$\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{r}$，解得$r = 8$。
再根据$\sin A=\sin60^{\circ}=\frac{OE}{OA}$，$OE = OA\sin60^{\circ}=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
因为$OD = 8$，所以$DE=OD - OE=8 - 4\sqrt{3}$。
3. 最后，在$Rt\triangle CDE$中：
因为$\angle DCE = 30^{\circ}$（$\angle ACD = 60^{\circ}$，$\angle OCA=\angle A = 60^{\circ}$，$\angle OCD=\angle ACD-\angle OCA = 30^{\circ}$），$\cos\angle DCE=\frac{DE}{CD}$。
又因为$\angle CDE = 90^{\circ}$，$\angle DCE = 30^{\circ}$，设$CD=x$，则$DE=\frac{1}{2}x$（在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半）。
同时，由$OE\perp AC$，$CD// AB$，$OA = OC$，$\angle A = 60^{\circ}$，$\triangle AOC$是等边三角形，$OE$是$\triangle AOC$的高，$OE = 4\sqrt{3}$，$OD = 8$，$DE=OD - OE$，且$\triangle CDE$中，$\cos30^{\circ}=\frac{DE}{CD}$。
另一种方法：
因为$D$是$\widehat{AC}$的中点，所以$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，$\angle AOD=\angle COD$。
又因为$CD// AB$，所以$\angle AOD=\angle ODC$，而$OC = OD$，所以$\angle OCD=\angle ODC$，$\angle AOD=\angle COD=\angle OCD=\angle ODC$。
因为$OA = OC$，$OD\perp AC$，$\angle A = 60^{\circ}$，$\triangle AOC$是等边三角形，$\angle AOC = 60^{\circ}$，则$\angle COD = 60^{\circ}$。
又因为$OC = OD$，所以$\triangle OCD$是等边三角形。
连接$OC$，在$Rt\triangle AOE$中，$OA = OC$，$AE=\frac{1}{2}AC = 4\sqrt{3}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$OA=\frac{AE}{\cos60^{\circ}}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 8$。
因为$\angle AOC = 60^{\circ}$，$D$是$\widehat{AC}$中点，所以$\angle COD=\frac{1}{2}\angle AOC = 60^{\circ}$，且$OC = OD$。
所以$\triangle OCD$是等边三角形，$CD = OC$。
因为$OC = OA$（都是圆的半径），$OA=\frac{AE}{\cos60^{\circ}}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 8$。
所以$CD = 8$。
6. 如图,
一座拱桥呈圆弧形,它的跨度AB= 60m,拱高PD= 18m.
(1)求圆弧所在圆的半径OP的长.
(2)当水位上涨至跨度只有30m时,必须采取紧急措施. 若水位上涨至离拱顶4m,即PE= 4m,此时是否需采取紧急措施？
一座拱桥呈圆弧形,它的跨度AB= 60m,拱高PD= 18m.(1)求圆弧所在圆的半径OP的长.
(2)当水位上涨至跨度只有30m时,必须采取紧急措施. 若水位上涨至离拱顶4m,即PE= 4m,此时是否需采取紧急措施？
答案：
（1）r=34m （2）跨度为32m＞30m，因此不需采取紧急措施
*7. 如图,在直角坐标系中,直径为10的⊙E交x轴于点A(-2,0),B(4,0),交y轴于点C,D. 试求圆心E和点C,D的坐标.
答案：
过点E作EF⊥AB于F，EM⊥DC于M，连结BE，DE.由已知可得AF=3，OF=1，OM=EF=4，则点E的坐标为(1,-4).又ME=OF=1，DE=5，得CM=DM=2√6，则OC=2√6-4，OD=2√6+4，即点C，D的坐标为C(0,2√6-4)，D(0,-2√6-4)
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