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11. 如图，$\triangle ABC$是$\odot O$的内接三角形，$AD$是$\odot O$的直径，且$AD=6$，$\angle ABC=\angle CAD$.求弦$AC$所对的弧长.
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答案：
$\frac{3}{2}\pi$ 或 $\frac{9}{2}\pi$
12. 如图，$MN$是$\odot O$的直径，$MN=2$.点$A$在$\odot O$上，$\angle AMN=30°$，$B$为$\widehat{AN}$的中点，$P$为直径$MN$上一动点，则$PA+PB$的最小值为
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$\sqrt{2}$
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答案：
$\sqrt{2}$
*13. 已知：如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$.以$AB$为直径的$\odot O$分别交$BC$，$AC$于点$D$，$E$，连结$EB$，交$OD$于点$F$.
（1）求证：$OD\perp BE$.
（2）若$DE=\sqrt{5}$，$AB=5$，求$AE$的长.
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（1）求证：$OD\perp BE$.
（2）若$DE=\sqrt{5}$，$AB=5$，求$AE$的长.
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答案：
$(1)$ 证明$OD\perp BE$
- 连接$AD$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle AEB=\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$是$\triangle ABC$底边$BC$上的高，也是中线，即$BD = DC$。
由于$OA=OB$，$BD = DC$，所以$OD$是$\triangle ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理，$OD// AC$。
因为$\angle AEB = 90^{\circ}$，即$BE\perp AC$，又$OD// AC$，所以$OD\perp BE$。
$(2)$ 求$AE$的长
- 连接$DE$。
因为$\angle CEB=\angle AEB = 90^{\circ}$，$\angle CDB=\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\angle CEB+\angle CDB = 180^{\circ}$，则$C$，$E$，$D$，$B$四点共圆（四边形对角互补，则四点共圆）。
所以$\angle C=\angle BED$（同弧所对的圆周角相等），又因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C$，则$\angle ABC=\angle BED$。
再加上$\angle DBE=\angle EBA$，所以$\triangle BDE\sim\triangle BEA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质可得$\frac{DE}{AE}=\frac{BD}{AB}$。
由$(1)$知$OD\perp BE$，所以$EF = FB$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），又$BD = DC$，所以$DE = BD$（直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，这里可通过全等或中位线等知识推导）。
已知$DE=\sqrt{5}$，$AB = 5$，设$AE=x$，则$AC=AB = 5$，$CE=5 - x$。
因为$\triangle BDE\sim\triangle BEA$，所以$\frac{DE}{AE}=\frac{BD}{AB}$，即$\frac{\sqrt{5}}{x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$（因为$BD = DE=\sqrt{5}$），解得$x = 3$。
综上，$(1)$ 证明如上；$(2)$$\boldsymbol{AE = 3}$。
- 连接$AD$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle AEB=\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$是$\triangle ABC$底边$BC$上的高，也是中线，即$BD = DC$。
由于$OA=OB$，$BD = DC$，所以$OD$是$\triangle ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理，$OD// AC$。
因为$\angle AEB = 90^{\circ}$，即$BE\perp AC$，又$OD// AC$，所以$OD\perp BE$。
$(2)$ 求$AE$的长
- 连接$DE$。
因为$\angle CEB=\angle AEB = 90^{\circ}$，$\angle CDB=\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\angle CEB+\angle CDB = 180^{\circ}$，则$C$，$E$，$D$，$B$四点共圆（四边形对角互补，则四点共圆）。
所以$\angle C=\angle BED$（同弧所对的圆周角相等），又因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C$，则$\angle ABC=\angle BED$。
再加上$\angle DBE=\angle EBA$，所以$\triangle BDE\sim\triangle BEA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质可得$\frac{DE}{AE}=\frac{BD}{AB}$。
由$(1)$知$OD\perp BE$，所以$EF = FB$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），又$BD = DC$，所以$DE = BD$（直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，这里可通过全等或中位线等知识推导）。
已知$DE=\sqrt{5}$，$AB = 5$，设$AE=x$，则$AC=AB = 5$，$CE=5 - x$。
因为$\triangle BDE\sim\triangle BEA$，所以$\frac{DE}{AE}=\frac{BD}{AB}$，即$\frac{\sqrt{5}}{x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$（因为$BD = DE=\sqrt{5}$），解得$x = 3$。
综上，$(1)$ 证明如上；$(2)$$\boldsymbol{AE = 3}$。
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