《2025年假期新思维期末暑假五年级数学北师大版》

【例 1】修一条水渠,甲队单独修要 4 天完成,乙队单独修要 6 天完成。两队合作修,1 天能完成这条水渠的几分之几？

答案： 【解析】：把这条水渠的全长看作整体“1”，甲队单独修要4天完成，所以甲队每天完成这条水渠的$\frac{1}{4}$；乙队单独修要6天完成，所以乙队每天完成这条水渠的$\frac{1}{6}$。两队合作1天完成的工作量就是甲队每天的工作量与乙队每天的工作量之和，即$\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$。通过通分计算，$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$，$\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$，相加可得$\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$。
【答案】：$\frac{5}{12}$

【例 2】计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+... +\frac{1}{90}$。

答案： 【分析】观察上面几个分数的特点：分子都是 1,分母依次可以改写成$1×2$,$2×3$,$3×4$,$4×5$,…,$9×10$,即相邻两个自然数乘积的形式。一个分数,分子是 1,分母是相邻的两个自然数的积,这个分数就能拆分成分子是 1,分母是相邻的两个自然数的分数的差,即$\frac{1}{2}= \frac{1}{1×2}= 1-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}= \frac{1}{2×3}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{12}= \frac{1}{3×4}= \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,$\frac{1}{20}= \frac{1}{4×5}= \frac{1}{4}-\frac{1}{5}$,…,$\frac{1}{90}= \frac{1}{9×10}= \frac{1}{9}-\frac{1}{10}$。
【解答】$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+... +\frac{1}{90}$
$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+... +(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+... +\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$
$=1-\frac{1}{10}$
$=\frac{9}{10}$