《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

9. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE.
（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；
（2）连接BE交AC于点F，若AB=2，∠AOB=60°，求BF的长.

答案：
9.
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA = OB = OC = OD.
∵四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED为菱形，
∴CE//OB，CE = OB，
∴四边形OBCE是平行四边形.
(2)解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，过点O作ON⊥BC于点N.

∵FM⊥BC，ON⊥BC，
∴ON//FM.
∵AO = OC，
∴ON = $\frac{1}{2}$AB = 1.
∵OF = FC，
∴FM = $\frac{1}{2}$ON = $\frac{1}{2}$.
∵∠AOB = 60°，OA = OB，
∴∠OAB = 60°，∠ACB = 30°.
在Rt△ABC中，
∵AB = 2，∠ACB = 30°，
∴BC = 2$\sqrt{3}$.
∵∠ACB = 30°，FM = $\frac{1}{2}$，
∴CM = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BM = BC - CM = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BF = $\sqrt{BM^{2} + FM^{2}}$ = $\sqrt{7}$.

10. 如图，点A，D，G，M在半圆上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，HN=c，则a，b，c之间的大小关系为(C)。

A.a＞b＞c
B.a＜b＜c
C.a=b=c
D.a＞c＞b

答案： 10.C

11. 如图，在矩形ABCD中，BD=2√{5}，AB在x轴上.且点A的横坐标为-1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为(C)。

A.(2+√{5},0)
B.(2√{5}+1,0)
C.(2√{5}-1,0)
D.(2√{5},0)

答案： 11.C

数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证。

请根据该图完成这个推论的证明过程。
证明：$S_{矩形NFGD}=S_{△ADC}-(S_{△ANF}+S_{△FGC})，$
$S_{矩形EBMF}=S_{△ABC}-(_$S_{△AEF}$+$S_{△FMC}$_)。$
易知，$S_{△ADC}=S_{△ABC}，$_$S_{△ANF}$=$S_{△AEF}$_，_$S_{△RGC}$=$S_{△FMC}$_。
可得$S_{矩形NFGD}=S_{矩形EBMF}。$

答案： 课堂延伸
S△AEF S△FMC S△ANF S△AEF S△RGC S△FMC

(2024·成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(C)。


A.AB=AD
B.AC⊥BD
C.AC=BD
D.∠ACB=∠ACD

答案： 中考链接
C