《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

7. 当 $(m^2 + n^2)(m^2 + n^2 - 2) + 1 = 0$ 时，$m^2 + n^2$ 的值为(B)。

A.$-1$
B.$1$
C.$1$ 或 $-1$
D.$0$

答案： 7.B

8. 我们解一元二次方程 $3x^2 - 6x = 0$ 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 $3x(x - 2) = 0$，从而得到两个一元一次方程 $3x = 0$ 或 $x - 2 = 0$，进而得到原方程的解 $x_1 = 0$，$x_2 = 2$。这种解法体现的数学思想是(A)。

A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想

答案： 8.A

9. 多项式 $x^2 + bx + c$ 因式分解的结果为 $(x - 1)·(x - 2)$，那么关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + bx + c = 0$ 的两根为 $x_1 =$1，$x_2 =$2。

答案： 9.1 2

10. 用因式分解法解下列方程：
(1) $2x^2 + x(x - 3) = 0$；
(2) $(x - 3)^2 + x^2 - 9 = 0$；
(3) $2x(x - 3) = (3 - x)^2$；
(4) $(2x - 2)^2 = x^2 + 2x + 1$。

答案： $(1)$ 解方程$2x^{2}+x(x - 3)=0$
解：
先对左边进行因式分解：
$\begin{aligned}2x^{2}+x(x - 3)&=0\\x(2x+x - 3)&=0\\x(3x - 3)&=0\\3x(x - 1)&=0\end{aligned}$
则$3x = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=1$。
$(2)$ 解方程$(x - 3)^{2}+x^{2}-9 = 0$
解：
利用平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，其中$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$，原方程可化为：
$\begin{aligned}(x - 3)^{2}+(x + 3)(x - 3)&=0\\(x - 3)[(x - 3)+(x + 3)]&=0\\(x - 3)(x - 3+x + 3)&=0\\2x(x - 3)&=0\end{aligned}$
则$2x = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=3$。
$(3)$ 解方程$2x(x - 3)=(3 - x)^{2}$
解：
将$(3 - x)^{2}$变形为$(x - 3)^{2}$，原方程可化为：
$\begin{aligned}2x(x - 3)-(x - 3)^{2}&=0\\(x - 3)[2x-(x - 3)]&=0\\(x - 3)(2x - x+3)&=0\\(x - 3)(x + 3)&=0\end{aligned}$
则$x - 3 = 0$或$x + 3 = 0$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-3$。
$(4)$ 解方程$(2x - 2)^{2}=x^{2}+2x + 1$
解：
将$(2x - 2)^{2}$变形为$[2(x - 1)]^{2}=4(x - 1)^{2}$，$x^{2}+2x + 1=(x + 1)^{2}$，原方程可化为：
\begin{aligned}4(x - 1)^{2}-(x + 1)^{2}&=0\\[2(x - 1)+(x + 1)][2(x - 1)-(x + 1)]&=0\\(2x-2+x + 1)(2x-2-x - 1)&=0\\(3x - 1)(x - 3)&=0\end{aligned}
则$3x - 1 = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=3$。
综上，答案依次为：$(1)x_{1}=0$，$x_{2}=1$；$(2)x_{1}=0$，$x_{2}=3$；$(3)x_{1}=3$，$x_{2}=-3$；$(4)x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=3$。

课堂·延伸
用乘法公式 $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ 的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫做十字相乘法，即 $x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)·(x + b)$。
例如：分解因式 $x^2 + 5x + 6$ 时，$a + b = 5$，$ab = 6$；我们把 $6$ 可以分解为 $6 = 1×6$，$6 = -1×(-6)$，$6 = 2×3$，$6 = -2×(-3)$；发现当 $a = 2$，$b = 3$ 时，$a + b$ 正好是 $5$，这样我们就可以把 $x^2 + 5x + 6$ 分解为 $(x + 2)(x + 3)$。
试用十字相乘法解下列一元二次方程：
(1) $x^2 + 3x + 2 = 0$；
(2) $x^2 - 7x + 10 = 0$；
(3) $x^2 - 5x - 6 = 0$。

答案： 1. （1）
解：对于方程$x^{2}+3x + 2 = 0$，
因为$x^{2}+3x + 2$中$a + b=3$，$ab = 2$，$2 = 1×2$，此时$1 + 2=3$。
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，则$x^{2}+3x + 2=(x + 1)(x + 2)$。
原方程化为$(x + 1)(x + 2)=0$。
所以$x+1 = 0$或$x + 2=0$。
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=-2$。
2. （2）
解：对于方程$x^{2}-7x + 10 = 0$，
因为$x^{2}-7x + 10$中$a + b=-7$，$ab = 10$，$10=(-2)×(-5)$，且$(-2)+(-5)=-7$。
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，则$x^{2}-7x + 10=(x - 2)(x - 5)$。
原方程化为$(x - 2)(x - 5)=0$。
所以$x-2 = 0$或$x - 5=0$。
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=5$。
3. （3）
解：对于方程$x^{2}-5x-6 = 0$，
因为$x^{2}-5x-6$中$a + b=-5$，$ab=-6$，$-6 = 1×(-6)$，且$1+(-6)=-5$。
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，则$x^{2}-5x-6=(x + 1)(x - 6)$。
原方程化为$(x + 1)(x - 6)=0$。
所以$x + 1=0$或$x - 6=0$。
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=6$。
综上，（1）$x_{1}=-1$，$x_{2}=-2$；（2）$x_{1}=2$，$x_{2}=5$；（3）$x_{1}=-1$，$x_{2}=6$。

(威海中考)一元二次方程 $4x(x - 2) = x - 2$ 的解为$x = \frac{1}{4}$或$x = 2$。

答案： $x = \frac{1}{4}$或$x = 2$