《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

1. 小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有的同一性质是(C)。

A.相等
B.互相垂直
C.互相平分
D.平分一组对角

答案： 1.C

2. 如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，延长 $AB$ 到 $E$，使 $AE = AC$，则 $∠BCE$ 的大小是(B)。

A.$67.5^{\circ}$
B.$22.5^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： 2.B

3. 如图，过正方形 $ABCD$ 的顶点 $B$ 作直线 $l$，过点 $A$，$C$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $E$，$F$，若 $AE = 1$，$CF = 3$，则 $AB$ 的长为(A)。

A.$\sqrt{10}$
B.$10$
C.$3$
D.$\sqrt{5}$

答案： 3.A

4. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，在各边上顺次截取 $AE = BF = CG = DH = 4$，则四边形 $EFGH$ 的面积是(D)。

A.$14$
B.$16$
C.$18$
D.$20$

答案： 4.D

5. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $AB$，$BC$ 上，$AF = DE$，$AF$ 和 $DE$ 相交于点 $G$，观察图形，与 $∠AED$ 相等的角有(B)。

A.$4$ 个
B.$3$ 个
C.$2$ 个
D.$1$ 个

答案： 5.B

6. 若正方形 $ABCD$ 的边长 $AB = 4$，则它的对角线 $AC$ 的长度为4$\sqrt{2}$。

答案： 6.4$\sqrt{2}$

7. 如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果 $∠1 = 50^{\circ}$，$∠3 = 25^{\circ}$，那么 $∠2$ 的度数是15°。

答案： 7.15°

8. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$∠DBC$ 的平分线交 $CD$ 于点 $E$，交 $AC$ 于点 $F$，$OF = 1$，则 $AB=$2+$\sqrt{2}$。

答案： 8.2+$\sqrt{2}$

9. 如图，$AC$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线，$E$ 为 $AC$ 上一点，且 $AB = AE$，$EF⊥AC$，交 $BC$ 于点 $F$，连接 $AF$，试说明 $EC = EF = BF$。

答案： 9.解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，
$\begin{cases} AE = AB, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴Rt△AEF≌Rt△ABF(HL),
∴FE=FB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°.
在Rt△CEF中，
∵∠ACB=45°,
∴∠CFE=45°,
∴∠ACB=∠CFE.
∴EC=EF.
∴EC=EF=BF.