《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

4. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BD⊥CD，如果AD=1，BC=3，那么BD=_.$\sqrt{3}$

答案： 4.$\sqrt{3}$

5. 如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形，并证明.

答案： 5.解：△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE.证明略.

6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论错误的是(D).

A.△ABE∽△DGE
B.△CGB∽△DGE
C.△BCF∽△EAF
D.△ACD∽△GCF

答案： 6.D

7. 如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是(C).

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 7.C

8. 在△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为_时，△ADP和△ABC相似.

答案： 8.4或9

9. 如图，在矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB'C，AB'交y轴于点D，则点B'的坐标为_.$(\frac{42}{29},\frac{105}{29})$
]

答案： 9.$(\frac{42}{29},\frac{105}{29})$

10. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DC交BE于点F，且AD=$\frac{1}{3}$AB，AE=$\frac{1}{2}$EC.
求证：（1）△DEF∽△CBF；
（2）DF·BF=EF·CF.

答案： 10.证明：
(1)
∵AE=$\frac{1}{2}$EC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{3}$.又
∵AD=$\frac{1}{3}$AB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$.又
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴DE//BC，
∴∠EDF=∠FCB，∠DEF=∠FBC，
∴△DEF∽△CBF.
(2)
∵由
(1)知△DEF∽△CBF，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{EF}{BF}$，
∴DF·BF=EF·CF.

在△ABC中，AB=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，BC=6.
（1）如图①，M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长.
（2）图②是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.
①请你在所给的网格中画出格点△A₁B₁C₁，使得△A₁B₁C₁与△ABC全等；（画出一个即可，不需证明）
②试直接写出在所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）.

答案：
解：
(1)当△AMN∽△ACB时，有$\frac{AM}{AC}$=$\frac{MN}{BC}$.
∵M为AB的中点，AB=2$\sqrt{5}$，
∴AM=$\sqrt{5}$.
∵BC=6，AC=4$\sqrt{5}$，
∴MN=$\frac{3}{2}$.
当△AMN∽△ABC时，
有$\frac{NM}{BC}$=$\frac{MA}{BA}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=3.
∴线段MN的长为$\frac{3}{2}$或3.
(2)①如图①所示.(答案不唯一)
②8个，如图②所示.(答案不唯一)