《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

1. 如图，平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，以下条件能证明平行四边形 $ABCD$ 是菱形的是(C)。

A.$∠BAC = ∠ABO$
B.$∠ABC = ∠BAC$
C.$OA² + OB² = AD²$
D.$AD² + OA² = OB²$

答案： 1. C

2. 在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出瓷砖的两组对边分别相等，然后乙测量出瓷砖的一组邻边相等，最后得到结论：地板瓷砖是菱形。则横线处应填(B)。

A.两组对边分别平行
B.一组邻边相等
C.两条对角线相等
D.一组邻角相等

答案： 2. B

3. 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是$AC\perp BD$(答案不唯一)。(只填一个即可)

答案： 3. $AC\perp BD$(答案不唯一)

4. 如图，将 $△ABC$ 沿射线 $BC$ 方向平移得到 $△DCE$，当 $△ABC$ 满足条件$AC=BC$(答案不唯一)时，能够判定四边形 $ACED$ 为菱形。(填一个条件)

答案： 4. $AC=BC$(答案不唯一)

5. 如图，$AF // DE$，$AC$ 平分 $∠BAD$ 交 $DE$ 于点 $C$，$DB$ 平分 $∠ADC$ 交 $AF$ 于点 $B$，连接 $BC$。求证：四边形 $ABCD$ 是菱形。

答案： 5. 证明：$\because AC$平分$\angle BAD$，
$\therefore \angle DAC=\angle CAB$。
$\because AF// DE$，
$\therefore \angle DCA=\angle CAB$，
$\therefore \angle DAC=\angle DCA$，
$\therefore AD=DC$。
同理得$AD=AB$。$\therefore DC=AB$。
又$\because AB// DC$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
又$\because AB=AD$，
$\therefore$四边形$ABCD$是菱形。

6. 如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$F$ 是对角线 $AC$ 上的一点，过点 $D$ 作 $DE // AC$，且 $DE = CF$，连接 $AE$，$BF$，$EF$。
(1) 求证：$△ADE ≌ △BCF$；
(2) 若 $∠BAF + ∠AED = 180^{\circ}$，求证：四边形 $ABFE$ 是菱形。

答案： 6. 证明：
(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD=BC$，$AD// BC$，$\therefore \angle DAC=\angle FCB$。
$\because DE// AC$，$\therefore \angle DAC=\angle EDA$，
$\therefore \angle FCB=\angle EDA$。
在$\triangle ADE$与$\triangle BCF$中，$\begin{cases}AD=BC,\\\angle EDA=\angle FCB,\\DE=CF,\end{cases}$
$\therefore \triangle ADE\cong\triangle BCF(SAS)$。
(2)$\because DE// AC$，且$DE=CF$，
$\therefore$四边形$EFCD$是平行四边形，
$\therefore DC=EF$，且$DC// EF$。
又$\because AB=CD$，$AB// CD$，
$\therefore AB=EF$，$AB// EF$，
$\therefore$四边形$ABFE$是平行四边形。
$\because \triangle ADE\cong\triangle BCF$，$\therefore \angle AED=\angle BFC$。
$\because \angle BAF+\angle AED=180^{\circ}$，
$\therefore \angle BAF+\angle BFC=180^{\circ}$。
又$\angle BFA+\angle BFC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle BAF=\angle BFA$，$\therefore BA=BF$，
$\therefore$四边形$ABFE$是菱形。