《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

1. 方程$3x^2 = 0$的根是(B).

A.$x = 0$
B.$x_1 = x_2 = 0$
C.$x = 3$
D.$x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$

答案： 1.B

2. 用配方法解一元二次方程$x^2 + 6x + 4 = 0$时，其中有一步将$x^2 + 6x + 9 = -4 + 9$写成$(x + 3)^2 = 5$的形式，其依据的数学知识是(D).

A.等式的性质
B.平方根的意义
C.平方差公式
D.完全平方公式

答案： 2.D

3. 用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上 4 的是(B).

A.$x^2 - 2x = 5$
B.$x^2 + 4x = 5$
C.$2x^2 - 4x = 5$
D.$4x^2 + 4x = 5$

答案： 3.B

4. 用配方法解方程$x^2 - 8x + 2 = 0$，则方程可变形为(C).

A.$(x - 4)^2 = 5$
B.$(x + 4)^2 = 21$
C.$(x - 4)^2 = 14$
D.$(x - 4)^2 = 8$

答案： 4.C

5. 将一元二次方程$x^2 + 2x - 1 = 0$化成$(x + a)^2 = b$的形式，其中$a$，$b$是常数，则$a =$1，$b =$2.

答案： 5.1 2

6. 方程$(x - 5)^2 = 4$的解为$x_1=7,x_2=3$.

答案： 6.$x_1=7,x_2=3$

7. 填上适当的数，使下列等式成立：
(1)$x^2 - 3x +$$\frac{9}{4}$$= ($$x - \frac{3}{2}$$)^2$；
(2)$x^2 + 5x +$$\frac{25}{4}$$= ($$x+\frac{5}{2}$$)^2$；
(3)$x^2 - \frac{7}{4}x +$$\frac{49}{64}$$= ($$x - \frac{7}{8}$$)^2$；
(4)$x^2 + \frac{4}{5}x +$$\frac{4}{25}$$= ($$x+\frac{2}{5}$$)^2$.

答案： 7.
(1)$\frac{9}{4}x - \frac{3}{2}$
(2)$\frac{25}{4}x+\frac{5}{2}$
(3)$\frac{49}{64}x - \frac{7}{8}$
(4)$\frac{4}{25}x+\frac{2}{5}$

8. 解下列方程：
(1)$x^2 = 9$；
(2)$(x - 1)^2 = 4$；
(3)$(2 - x)^2 = 4$；
(4)$(x + 1)^2 = \frac{9}{16}$.

答案： $(1)$ 解方程$x^{2}=9$
解：根据平方根的定义，若$x^{2}=a$（$a\geq0$），则$x = \pm\sqrt{a}$。
对于方程$x^{2}=9$，这里$a = 9$，所以$x=\pm\sqrt{9}$，即$x=\pm3$。
$(2)$ 解方程$(x - 1)^{2}=4$
解：根据平方根的定义，若$y^{2}=a$（$a\geq0$），则$y=\pm\sqrt{a}$。
令$y=x - 1$，$a = 4$，则$x - 1=\pm\sqrt{4}=\pm2$。
当$x - 1 = 2$时，$x=2 + 1=3$；
当$x - 1=-2$时，$x=-2 + 1=-1$。
所以$x = 3$或$x=-1$。
$(3)$ 解方程$(2 - x)^{2}=4$
解：根据平方根的定义，若$y^{2}=a$（$a\geq0$），则$y=\pm\sqrt{a}$。
令$y=2 - x$，$a = 4$，则$2 - x=\pm\sqrt{4}=\pm2$。
当$2 - x = 2$时，$-x=2 - 2$，即$x = 0$；
当$2 - x=-2$时，$-x=-2 - 2$，$-x=-4$，即$x = 4$。
所以$x = 0$或$x = 4$。
$(4)$ 解方程$(x + 1)^{2}=\frac{9}{16}$
解：根据平方根的定义，若$y^{2}=a$（$a\geq0$），则$y=\pm\sqrt{a}$。
令$y=x + 1$，$a=\frac{9}{16}$，则$x + 1=\pm\sqrt{\frac{9}{16}}=\pm\frac{3}{4}$。
当$x + 1=\frac{3}{4}$时，$x=\frac{3}{4}-1=\frac{3}{4}-\frac{4}{4}=-\frac{1}{4}$；
当$x + 1=-\frac{3}{4}$时，$x=-\frac{3}{4}-1=-\frac{3}{4}-\frac{4}{4}=-\frac{7}{4}$。
所以$x=-\frac{1}{4}$或$x=-\frac{7}{4}$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{x=\pm3}$；$(2)$$\boldsymbol{x = 3}$或$\boldsymbol{x=-1}$；$(3)$$\boldsymbol{x = 0}$或$\boldsymbol{x = 4}$；$(4)$$\boldsymbol{x=-\frac{1}{4}}$或$\boldsymbol{x=-\frac{7}{4}}$。

9. 如果关于$x$的方程$(x - 2)^2 = 1 - m$无实数根，那么$m$满足的条件是(C).

A.$m ＞ 2$
B.$m ＜ 2$
C.$m ＞ 1$
D.$m ＜ 1$

答案： 9.C

10. 如果一元二次方程$x^2 - 4x + k = 0$经配方后，得$(x - 2)^2 = 1$，那么$k =$3.

答案： 10.3

11. 小明在解方程$x^2 - 2x - 1 = 0$时出现了错误，其解答过程如下：
$x^2 - 2x = -1$ (第一步)
$x^2 - 2x + 1 = -1 + 1$ (第二步)
$(x - 1)^2 = 0$ (第三步)
$x_1 = x_2 = 1$ (第四步)
(1)小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是将-1移项后没有改变符号；
(2)请写出此题正确的解答过程.

答案： 11.解：
(1)一 将-1移项后没有改变符号
(2)$x^{2}-2x=1$，$x^{2}-2x + 1=2$，$(x - 1)^{2}=2$，$x - 1=\pm\sqrt{2}$，所以$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$.

12. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 8 = 0$；
(2)$x^2 - 5x = 6$；
(3)$x^2 + 6x = -3$；
(4)$8x + 16 = -x^2$；
(5)$x^2 = 4x + 4$；
(6)$x^2 - \frac{7}{3}x + 1 = 0$.

答案： $(1)$ $x^{2}-2x - 8 = 0$
解：
$x^{2}-2x=8$
$x^{2}-2x + 1 = 8 + 1$（在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-2$，$(\frac{-2}{2})^2 = 1$）
$(x - 1)^{2}=9$
$x - 1=\pm3$
$x = 1\pm3$
$x_{1}=4,x_{2}=-2$
$(2)$ $x^{2}-5x = 6$
解：
$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$（一次项系数为$-5$，$(\frac{-5}{2})^2=\frac{25}{4}$）
$(x-\frac{5}{2})^{2}=\frac{24 + 25}{4}=\frac{49}{4}$
$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$
$x=\frac{5}{2}\pm\frac{7}{2}$
$x_{1}=6,x_{2}=-1$
$(3)$ $x^{2}+6x=-3$
解：
$x^{2}+6x + 9=-3 + 9$（一次项系数为$6$，$(\frac{6}{2})^2 = 9$）
$(x + 3)^{2}=6$
$x+3=\pm\sqrt{6}$
$x=-3\pm\sqrt{6}$
$(4)$ $8x + 16=-x^{2}$
解：
$x^{2}+8x=-16$
$x^{2}+8x + 16=-16 + 16$（一次项系数为$8$，$(\frac{8}{2})^2 = 16$）
$(x + 4)^{2}=0$
$x_{1}=x_{2}=-4$
$(5)$ $x^{2}=4x + 4$
解：
$x^{2}-4x=4$
$x^{2}-4x + 4=4 + 4$（一次项系数为$-4$，$(\frac{-4}{2})^2 = 4$）
$(x - 2)^{2}=8$
$x-2=\pm2\sqrt{2}$
$x=2\pm2\sqrt{2}$
$(6)$ $x^{2}-\frac{7}{3}x + 1 = 0$
解：
$x^{2}-\frac{7}{3}x=-1$
$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-1+\frac{49}{36}$（一次项系数为$-\frac{7}{3}$，$(\frac{-\frac{7}{3}}{2})^2=\frac{49}{36}$）
$(x-\frac{7}{6})^{2}=\frac{-36 + 49}{36}=\frac{13}{36}$
$x-\frac{7}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6}$
$x=\frac{7\pm\sqrt{13}}{6}$
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{x_{1}=4,x_{2}=-2}$；$(2)$$\boldsymbol{x_{1}=6,x_{2}=-1}$；$(3)$$\boldsymbol{x=-3\pm\sqrt{6}}$；$(4)$$\boldsymbol{x_{1}=x_{2}=-4}$；$(5)$$\boldsymbol{x=2\pm2\sqrt{2}}$；$(6)$$\boldsymbol{x=\frac{7\pm\sqrt{13}}{6}}$。