《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

(2023·黑龙江)如图，在长为 100 m，宽为 50 m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 3600 m²，则小路的宽是(A).


A.5 m
B.70 m
C.5 m 或 70m
D.10 m

答案： A

1. 当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以使这两个一次因式分别等于 0，从而实现降次，求出方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。

答案： 1.两个一次因式 因式分解法

2. 因式分解法解一元二次方程的根据：如果 $ab = 0$，那么 $a=$0或 $b=$0。

答案： 2.0 0

1. 方程 $x(x - 1) = 0$ 的根是(B)。

A.$x_1 = 0$，$x_2 = -1$
B.$x_1 = 0$，$x_2 = 1$
C.$x_1 = x_2 = 0$
D.$x_1 = x_2 = 1$

答案： 1.B

2. 方程 $5x(x + 3) = 3(x + 3)$ 的解为(D)。

A.$x_1 = \frac{3}{5}$，$x_2 = 3$
B.$x = \frac{3}{5}$
C.$x_1 = -\frac{3}{5}$，$x_2 = -3$
D.$x_1 = \frac{3}{5}$，$x_2 = -3$

答案： 2.D

3. 用因式分解法解下列方程，其中正确的是(D)。

A.$x(x + 2) = 0$，所以 $x + 2 = 0$
B.$(x - 3)(x - 4) = 3×4$，则 $x - 3 = 3$ 或 $x - 4 = 4$
C.$(2x - 2)(3x - 4) = 0$，所以 $2x - 2 = 0$ 且 $3x - 4 = 0$
D.$(3x - 4)(2x - 1) = 0$，所以 $3x - 4 = 0$ 或 $2x - 1 = 0$

答案： 3.D

4. 方程 $x^2 + 2x = 0$ 的解为$x_1 = 0$，$x_2 = -2$。

答案： 4.$x_1 = 0$，$x_2 = -2$

5. 解一元二次方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$ 时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程：$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$。

答案： 5.$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$

6. 用因式分解法解下列方程：
(1) $2x^2 - 4x = 0$；
(2) $x - 5 + x(x - 5) = 0$；
(3) $x(x - 1) = x$；
(4) $(x + 2)^2 - 36 = 0$。

答案： $(1)$ 解方程$2x^{2}-4x = 0$
解：
提取公因式$2x$，得到$2x(x - 2)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$2x = 0$或$x - 2 = 0$。
当$2x = 0$时，$x = 0$；当$x - 2 = 0$时，$x = 2$。
所以方程的解为$x_{1}=0$，$x_{2}=2$。
$(2)$ 解方程$x - 5 + x(x - 5)=0$
解：
提取公因式$(x - 5)$，得到$(x - 5)(1 + x)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x - 5 = 0$或$1 + x = 0$。
当$x - 5 = 0$时，$x = 5$；当$1 + x = 0$时，$x = - 1$。
所以方程的解为$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$。
$(3)$ 解方程$x(x - 1)=x$
解：
移项得$x(x - 1)-x = 0$，提取公因式$x$，得到$x(x - 1 - 1)=0$，即$x(x - 2)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x = 0$或$x - 2 = 0$。
当$x = 0$时，满足方程；当$x - 2 = 0$时，$x = 2$。
所以方程的解为$x_{1}=0$，$x_{2}=2$。
$(4)$ 解方程$(x + 2)^{2}-36 = 0$
解：
利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，将方程变形为$(x + 2 + 6)(x + 2 - 6)=0$，即$(x + 8)(x - 4)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x + 8 = 0$或$x - 4 = 0$。
当$x + 8 = 0$时，$x = - 8$；当$x - 4 = 0$时，$x = 4$。
所以方程的解为$x_{1}=-8$，$x_{2}=4$。
综上，答案依次为：$(1)$$x_{1}=0$，$x_{2}=2$；$(2)$$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$；$(3)$$x_{1}=0$，$x_{2}=2$；$(4)$$x_{1}=-8$，$x_{2}=4$。