《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

7. 如图，某小区规划在长 32 m、宽 20 m 的矩形场地 ABCD 上修建 3 条同样宽的小路，使其中两条与 AB 平行，一条与 AD 平行，其余部分种草，若使草坪的面积为 442 m²，求小路的宽为多少.

答案： 7.解：设小路的宽为$x$ $m$，由题意得$(32 - 2x)(20 - x)=$
$442$，整理得$x^{2}-36x + 99 = 0$，解得$x_{1}=3,x_{2}=33($舍去$)$，所以小路的宽为$3$ $m$.

8. 在直角墙角 AOB($OA\perp OB$，且 OA，OB 长度不限)中，要砌 20 m 长的墙，与直角墙角 AOB 围成矩形地面的储仓，且矩形地面 AOBC 的面积为 96 m²，求这个矩形地面的长.

答案： 8.解：设这个矩形地面的长是$x$ $m$，则依题意得$x(20 - x)=96$，
解得$x_{1}=12,x_{2}=8($舍去$)$.
答：这个矩形地面的长是$12$ $m$.

课堂·延伸
阅读下列材料：
已知方程 $x^{2}+x - 5 = 0$，求一个一元二次方程，使得它的根分别是已知方程根的 3 倍.
解：设所求方程的根为 y，则 $y = 3x$，即 $x=\frac{y}{3}$.
把 $x=\frac{y}{3}$代入已知方程，得 $(\frac{y}{3})^{2}+\frac{y}{3}-5 = 0$.
化简，得 $y^{2}+3y - 45 = 0$.
故所求方程为 $y^{2}+3y - 45 = 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请用“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式).
(1)已知方程 $x^{2}+x - 3 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍，则所求方程为$y^{2}+2y - 12 = 0$；
(2)已知关于 x 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数.

答案： 解：$(1)y^{2}+2y - 12 = 0$.
$(2)$设所求方程的根为$y$，则$y=-x(x\neq0)$，于是$x=$
$-y(y\neq0)$.
把$x=-y$代入方程$ax^{2}+bx + c = 0$，得$a(-y)^{2}+$
$b(-y)+c = 0$.
化简，得$ay^{2}-by + c = 0$.
若$c = 0$，有$ax^{2}+bx = 0$，于是方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一个根为$0$，不符合题意，
所以$c\neq0$.
故所求方程为$ay^{2}-by + c = 0(c\neq0)$.