《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

课堂·延伸
阅读材料：若$m^2 - 2mn + 2n^2 - 4n + 4 = 0$，求$m$，$n$的值.
解：$\because m^2 - 2mn + 2n^2 - 4n + 4 = 0$，
$\therefore (m^2 - 2mn + n^2) + (n^2 - 4n + 4) = 0$，
$\therefore (m - n)^2 + (n - 2)^2 = 0$.
$\because (m - n)^2 \geq 0$，$(n - 2)^2 \geq 0$，
$\therefore (m - n)^2 = 0$，$(n - 2)^2 = 0$，
$\therefore m = 2$，$n = 2$.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)若$a^2 + b^2 - 6a - 2b + 10 = 0$，则$a =$3，$b =$1；
(2)已知$x^2 + 2y^2 - 2xy + 8y + 16 = 0$，求$xy$的值；
(3)已知$\triangle ABC$的三边长$a$，$b$，$c$都是正整数，且满足$2a^2 + b^2 - 4a - 8b + 18 = 0$，求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解：
(1)3 1
(2)$\because x^{2}-2xy + 2y^{2}+8y + 16=0$，$\therefore(x^{2}-2xy + y^{2})+(y^{2}+8y + 16)=0$，$\therefore(x - y)^{2}+(y + 4)^{2}=0$，$\therefore(x - y)^{2}=0,(y + 4)^{2}=0$，$\therefore x=-4,y=-4$，$\therefore xy=(-4)×(-4)=16$.
(3)$\because2a^{2}+b^{2}-4a - 8b + 18=0$，$\therefore(2a^{2}-4a + 2)+(b^{2}-8b + 16)=0$，$\therefore2(a - 1)^{2}+(b - 4)^{2}=0$，$\therefore a=1,b=4$，$\therefore$边长$c$的取值范围为$3\lt c\lt5$. $\because a,b,c$都是正整数，$\therefore$边长$c$的值为4，$\therefore\triangle ABC$的周长为$1 + 4 + 4=9$.

(2024·东营)用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x - 2023 = 0$，将它转化为$(x + a)^2 = b$的形式，则$a^b$的值为(D).

A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$

答案： 中考链接 D