《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，且$DE// BC$，则下列不成立的比例式是(D)。

A.$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
B.$\frac{AD}{AE}=\frac{DB}{EC}$
C.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
D.$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$

答案： 7.D

8. 如图，$AB// CD$，$OD = 2OA$，$BC = 9$，则$OC$的长为(D)。

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： 8.D

9. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$，$BC$上，且$DE// BC$，$EF// AB$。若$AD = 2BD$，则$\frac{CF}{BF}$的值为(A)。

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 9.A

10. 如图，在$\triangle ABC$中，已知$MN// BC$，$DN// MC$，小明由此得出了以下四个结论：①$\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$；②$\frac{AD}{DM}=\frac{DN}{CM}$；③$\frac{AM}{BM}=\frac{AD}{DM}$；④$AM^{2}=AB· AD$。其中，正确结论的个数为(C)。

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 10.C

如图，在$\triangle ABC$中，$D$为$BC$边的中点，$E$为$AC$边上的任意一点，$BE$交$AD$于点$O$，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：
（1）当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1 + 1}$时，有$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}=\frac{2}{2 + 1}$（如图①）；
（2）当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}=\frac{1}{1 + 2}$时，有$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{4}=\frac{2}{2 + 2}$（如图②）；
（3）当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}=\frac{1}{1 + 3}$时，有$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{5}=\frac{2}{2 + 3}$（如图③）。
如图④，当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1 + n}$时，请你猜想$\frac{AO}{AD}$的一般结论，并证明你的结论。（其中$n$为正整数）

答案： 解：猜想$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$
证明：过点D作DF//BE,交AC于点F(图略)，
∴AO:AD=AE:AF.
∵D为BC边的中点，
∴$CF=EF=\frac{1}{2}EC.$
∵$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+n}$
∴AE:(AE+2EF)=1:(1+n).
∴AE:EF=2:n.
∴AE:AF=2:(n+2),即$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$