《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

9. 圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(如图)，已知桌面的直径为 $1.2$ m，桌面距离地面 $1$ m，若灯泡距离地面 $3$ m，则地面上阴影部分的面积为0.81\pi m^2.

答案： $9.0.81\pi m^2$

10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 上的点，$\triangle ADE\backsim\triangle ACB$，相似比为 $AD:AC = 2:3$，$\triangle ACB$ 的角平分线 $AF$ 交 $DE$ 于点 $G$，交 $BC$ 于点 $F$，求 $AG$ 与 $GF$ 的比.

答案： 10.解：
∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠ACB,∠AED=∠ABC.
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠CAF.
∵∠AGD=∠CAF+∠AED，
∠AFC=∠BAF+∠ABC，
∴∠AGD=∠AFC
∴△AGD∽△AFC.
∵$\frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3} $
∴AG:GF=2:1.

课堂·延伸
阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体.
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比 $(a:b)$.

设 $S_{甲}$，$S_{乙}$ 分别表示这两个正方体的表面积，则 $\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{6a^2}{6b^2}=(\frac{a}{b})^2$.
又设 $V_{甲}$，$V_{乙}$ 分别表示这两个正方体的体积，则 $\frac{V_{甲}}{V_{乙}}=\frac{a^3}{b^3}=(\frac{a}{b})^3$.
(1) 下列几何体中，一定属于相似体的是(A).
A. 两个球体
B. 两个锥体
C. 两个圆柱体
D. 两个长方体
(2) 请归纳出相似体的三条主要性质：
① 相似体的一切对应线段长的比等于相似比；
② 相似体表面积的比等于相似比的平方；
③ 相似体体积的比等于相似比的立方.
(3) 假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为 $1.1$ m，体重为 $18$ kg，到了九年级时，身高为 $1.65$ m，问他的体重是多少？(不考虑不同时期人体体平均密度的变化)

答案： 解：
(1)A
(2)①相似比 ②相似比的平方 ③相似比的立方
(3)因为体重之比等于体积比，所以由题意知他的体积比为$(\frac{1.1}{1.65})^3.$
若设九年级时他的体重为x kg，
则有$(\frac{1.1}{1.65})^3=\frac{18}{x}，$解得x=60.75.
答：九年级时他的体重为60.75kg.