《2025年初中同步练习册九年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

13. 如图，点$D$，$E$分别在$\triangle ABC$的边$AB$，$AC$上，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，且$\triangle ABC$与$\triangle ADE$的周长之差为$15cm$，求$\triangle ABC$与$\triangle ADE$的周长.

答案： 13.$\triangle ABC$的周长为$45cm$，$\triangle ADE$的周长为$30cm$

14. 已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边，$\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}$且$a + b + c = 12$，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 14.解：设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$，则$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$.
将$a$，$b$，$c$代入$a+b+c=12$，解得$k=3$.
所以$a=5$，$b=3$，$c=4$.
又$3^2+4^2=5^2$，所以$b^2+c^2=a^2$，
所以$\triangle ABC$为直角三角形.

阅读下面的解题过程，然后解题.
题目：已知$\frac{x}{a - b}=\frac{y}{b - c}=\frac{z}{c - a}(a,b,c$互不相等)，求$x + y + z$的值.
解：设$\frac{x}{a - b}=\frac{y}{b - c}=\frac{z}{c - a}=k$，
则$x = k(a - b)$，$y = k(b - c)$，$z = k(c - a)$，
$\therefore x + y + z = k·0 = 0$.
依照上述方法解答下列问题：
已知$\frac{y + z}{x}=\frac{z + x}{y}=\frac{x + y}{z}(x + y + z\neq0)$，求$\frac{x - y - z}{x + y + z}$的值.

答案： 课堂延伸
解：设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，
则$y+z=xk$，$z+x=yk$，$x+y=zk$，
$\therefore2(x+y+z)=k(x+y+z)$，
解得$k=2$.
$\therefore y+z=2x$，$z+x=2y$，$x+y=2z$.
解得$x=y=z$.
则$\frac{x-y-z}{x+y+z}=-\frac{1}{3}$.

（2023·丽水）小慧同学在学习了比例线段后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.

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| $\frac{a}{x}=\frac{y}{c}$ | 当$x = y = b$时 | $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$ | 当$\frac{a}{c}=$2时 | $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$ |

答案： 中考链接
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