《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

19. (6分)如图,$\odot O$的弦AB、CD的延长线相交于点P,且$AB= CD$,求证:$PB= PD$.

答案：
如图，连接AC.
∵AB=CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$
　　　　　　　　　　　　　　　　
　即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
∴∠A=∠C，
∴PA=PC.
∵AB=CD，
∴PA−AB=PC−CD，即PB=PD.

20. (6分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 18$,以腰AB为直径作半圆,分别交BC、AC于点D、E.
(1)若$∠BAC= 50^{\circ }$,求弧BE的长;
(2)连接DE,求证:$BD= DE$.

答案：

(1)如图，连接OE.
∵∠BAC=50°，
∴∠BOE=100°.
∵AB=18，
∴OB=9，
∴弧BE的长为$\frac{100\pi×9}{180}$=5π.
　　　　　　　　　　　　　　　
(2)如图，连接AD、DE.
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠EAD，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴BD=DE.

21. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,点O为BC边上一点,以点O为圆心、OB长为半径的圆与边AB相交于点D,连接DC,当DC为$\odot O$的切线时.
(1)求证:$DC= AC$;
(2)若$DC= DB,\odot O$的半径为1,请直接写出DC的长为______.

答案：

(1)如图，连接OD.
∵CD是$\odot O$的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，
∴∠BDO+∠ADC=90°.
　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO，
∴∠A=∠ADC，
∴DC=AC.
(2)$\sqrt{3}$　[解析]
∵DC=DB，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC=∠BDO.
∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC=180°，
∴∠DCB=∠DBC=∠BDO=30°，
∴OC=2OD=2，
∴DC=$\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
　归纳总结　本题考查了切线的判定和性质、圆的有关知识、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，灵活运用这些性质是解决本题的关键.