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24. (8分)关于x的一元二次方程$x^{2}-4mx+8m-4= 0$的两个根是平行四边形ABCD的两邻边长.
(1)当$m= 2$,且四边形ABCD为矩形时,求矩形的对角线长度;
(2)若四边形ABCD为菱形,求菱形的周长.
(1)当$m= 2$,且四边形ABCD为矩形时,求矩形的对角线长度;
(2)若四边形ABCD为菱形,求菱形的周长.
答案：
(1)当m=2时,原方程为x²-8x+12=0,变形得(x-2)(x-6)=0,解得x₁=2,x₂=6.
∵关于x的一元二次方程x²-8x+12=0的两个根是矩形ABCD的两邻边长,
∴矩形的对角线长度为$\sqrt{x₁²+x₂²}$=2$\sqrt{10}$.
(2)
∵关于x的一元二次方程x²-4mx+8m-4=0的两个根是菱形ABCD的两邻边长,
∴关于x的一元二次方程x²-4mx+8m-4=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-4m)²-4×1×(8m-4)=0,解得m₁=m₂=1,
∴原方程为x²-4x+4=0,即(x-2)²=0,解得x₁=x₂=2,
∴菱形的周长为2×4=8.
(1)当m=2时,原方程为x²-8x+12=0,变形得(x-2)(x-6)=0,解得x₁=2,x₂=6.
∵关于x的一元二次方程x²-8x+12=0的两个根是矩形ABCD的两邻边长,
∴矩形的对角线长度为$\sqrt{x₁²+x₂²}$=2$\sqrt{10}$.
(2)
∵关于x的一元二次方程x²-4mx+8m-4=0的两个根是菱形ABCD的两邻边长,
∴关于x的一元二次方程x²-4mx+8m-4=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-4m)²-4×1×(8m-4)=0,解得m₁=m₂=1,
∴原方程为x²-4x+4=0,即(x-2)²=0,解得x₁=x₂=2,
∴菱形的周长为2×4=8.
25. (8分)新情境 数学与生活融合 某文具店去年8月底购进了一批文具1160件,预计在9月份进行试销.购进价格为每件10元.若售价为12元/件,则可全部售出.若每涨价0.1元.销售量就减少2件.
(1)该文具店在9月份销售量不低于1100件,则售价应不高于多少元?
(2)由于销量好,10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%,该店主增加了进货量并加强了宣传力度,结果10月份的销售量比9月份在(1)的条件下的最低销售量增加了m%,但售价比9月份在(1)的条件下的最高售价减少$\frac {2}{15}m\% $.若10月份利润达到3388元,求m的值$(m＞10)$.
(1)该文具店在9月份销售量不低于1100件,则售价应不高于多少元?
(2)由于销量好,10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%,该店主增加了进货量并加强了宣传力度,结果10月份的销售量比9月份在(1)的条件下的最低销售量增加了m%,但售价比9月份在(1)的条件下的最高售价减少$\frac {2}{15}m\% $.若10月份利润达到3388元,求m的值$(m＞10)$.
答案：
(1)设售价应为x元,根据题意,得$\frac{1160-2(x-12)}{0.1}$≥1100,解得x≤15.故售价应不高于15元.
(2)10月份的进价为10×(1+20%)=12(元),根据题意,得1100(1+m%)×[15(1- $\frac{2}{15}$m%)-12]=3388,设m%=t,化简,得50t²-25t+2=0,解得t₁= $\frac{2}{5}$,t₂= $\frac{1}{10}$.所以m₁=40,m₂=10.因为m＞10,所以m=40.故m的值为40.
(1)设售价应为x元,根据题意,得$\frac{1160-2(x-12)}{0.1}$≥1100,解得x≤15.故售价应不高于15元.
(2)10月份的进价为10×(1+20%)=12(元),根据题意,得1100(1+m%)×[15(1- $\frac{2}{15}$m%)-12]=3388,设m%=t,化简,得50t²-25t+2=0,解得t₁= $\frac{2}{5}$,t₂= $\frac{1}{10}$.所以m₁=40,m₂=10.因为m＞10,所以m=40.故m的值为40.
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