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8. 如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA的延长线上.若$A(2,0)$、$D(4,0)$,以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B,交y轴正半轴于点E,连接DE、BE,则$∠BED$的度数是( ).
A.$15^{\circ }$
B.$22.5^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$45^{\circ }$
A.$15^{\circ }$
B.$22.5^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$45^{\circ }$
答案：
C[解析]如图，连接OB.
∵A(2,0)、D(4,0),
∴OA=2,OB=OE=OD=4,
∴OA=$\frac{1}{2}$OB.
∵四边形OABC是矩形,
∴∠OAB=90°,
∴∠OBA=30°,
∴∠BOD=90°−∠OBA=60°,
∴∠BED=$\frac{1}{2}$∠BOD=30°.故选C.
∵A(2,0)、D(4,0),
∴OA=2,OB=OE=OD=4,
∴OA=$\frac{1}{2}$OB.
∵四边形OABC是矩形,
∴∠OAB=90°,
∴∠OBA=30°,
∴∠BOD=90°−∠OBA=60°,
∴∠BED=$\frac{1}{2}$∠BOD=30°.故选C.
9. 若关于x的方程$x^{2}-2x+k= 0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围为____.
答案：
k＜1
10. (2025·扬州邗江区期末)若$x_{1}$、$x_{2}是一元二次方程x^{2}+2x-3= 0$的两个根,则$x_{1}x_{2}$的值是____.
答案：
−3
11. 已知$x_{1}$、$x_{2}是方程x^{2}-x-1= 0$的根,则$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}$的值是____.
答案：
−1
12. 如图,已知点A、B、C依次在$\odot O$上,$∠B-∠A= 30^{\circ }$,则$∠AOB$的度数为____$^{\circ }$.
答案：
60
13. 一条弦所对的圆心角是$100^{\circ }$,那么它所对的圆周角为____.
答案：
50°或130°
14. 如图,在扇形AOC中,B是弧AC上一点,且AB、BC分别是$\odot O$的内接正方形、正五边形的边.若$OA= 1$,则$\widehat {AC}$的长为____.
答案：
$\frac{9}{10}$π[解析]如图，连接OB.
∵AB、BC分别是⊙O的内接正方形、正五边形的边,
∴∠AOB=90°,∠BOC=72°,
∴∠AOC=90°+72°=162°,
∴$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{162π×1}{180}$=$\frac{9}{10}$π.归纳总结 本题考查了正多边形与圆及弧长的计算，解题的关键是正确作出辅助线，难度不大.
∵AB、BC分别是⊙O的内接正方形、正五边形的边,
∴∠AOB=90°,∠BOC=72°,
∴∠AOC=90°+72°=162°,
∴$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{162π×1}{180}$=$\frac{9}{10}$π.归纳总结 本题考查了正多边形与圆及弧长的计算，解题的关键是正确作出辅助线，难度不大.
15. 某足球小组赛,每两队之间进行一场比赛,小组赛共进行了6场比赛,则该小组有____支球队.
答案：
4
16. 用半径为50、圆心角为$120^{\circ }$的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为____.
答案：
$\frac{50}{3}$
17. (2024·溧阳期中)如图,CD是$\odot O$的直径,AB是$\odot O$的弦,$CD⊥AB,∠AOC= 150^{\circ }$,则$∠DCB= $____.
答案：
15° [解析]设AB与CD交于点E,
∵∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠AOC=150°,
∴∠B=75°.
∵CD⊥AB,
∴∠CEB=90°,
∴∠DCB=15°.
∵∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠AOC=150°,
∴∠B=75°.
∵CD⊥AB,
∴∠CEB=90°,
∴∠DCB=15°.
18. 分类讨论思想如图,正方形AOBC的顶点O在原点处,边AO、BO分别在x轴和y轴上,点C的坐标为$(4,4)$,点D是BO的中点,点P是边OA上的一个动点,连接PD,以P为圆心、PD的长为半径作圆,设点P的横坐标为t,当$\odot P$与正方形AOBC的边相切时,t的值为____.
答案：
$\frac{3}{2}$或$2\sqrt{3}$ [解析]
∵点C的坐标为(4,4),点D是BO的中点,
∴OA=OB=4,OD=$\frac{1}{2}$OB=2.分⊙P与AC相切和⊙P与BC相切两种情况考虑:①如图
(1),当⊙P与AC相切时
∵点P的横坐标为t,
∴PA=4−t.在Rt△DOP中,OD=2,OP=t,PD=PA=4−t,根据勾股定理,得PD²=OD²+OP²,即(4−t)²=2²+t²,解得t=$\frac{3}{2}$.②如图
(2),当⊙P与BC相切时,设切点为E,连接PE.
∵PE⊥BC,AC⊥BC,
∴PE//AC.
∵PA//EC,
∴四边形ACEP为矩形，
∴PE=AC=4,
∴PD=PE=4.在Rt△POD中,OP=t,OD=2,PD=4,根据勾股定理,得PD²=OD²+OP²,即4²=2²+t²,解得t₁=$2\sqrt{3}$,t₂=$-2\sqrt{3}$(不符合题意，舍去).综上所述，t的值为$\frac{3}{2}$或$2\sqrt{3}$
∵点C的坐标为(4,4),点D是BO的中点,
∴OA=OB=4,OD=$\frac{1}{2}$OB=2.分⊙P与AC相切和⊙P与BC相切两种情况考虑:①如图
(1),当⊙P与AC相切时
∵点P的横坐标为t,
∴PA=4−t.在Rt△DOP中,OD=2,OP=t,PD=PA=4−t,根据勾股定理,得PD²=OD²+OP²,即(4−t)²=2²+t²,解得t=$\frac{3}{2}$.②如图
(2),当⊙P与BC相切时,设切点为E,连接PE.
∵PE⊥BC,AC⊥BC,
∴PE//AC.
∵PA//EC,
∴四边形ACEP为矩形，
∴PE=AC=4,
∴PD=PE=4.在Rt△POD中,OP=t,OD=2,PD=4,根据勾股定理,得PD²=OD²+OP²,即4²=2²+t²,解得t₁=$2\sqrt{3}$,t₂=$-2\sqrt{3}$(不符合题意，舍去).综上所述，t的值为$\frac{3}{2}$或$2\sqrt{3}$
19. (6分)解下列方程:
(1)$2x^{2}+x-2= 0$;
(2)$x(2x-5)= 4x-10$.
(1)$2x^{2}+x-2= 0$;
(2)$x(2x-5)= 4x-10$.
答案：
(1)
∵b²−4ac=1²−4×2×(−2)=17,
∴x=$\frac{−1±\sqrt{17}}{2×2}$.
∴x₁=$\frac{\sqrt{17}−1}{4}$,x₂=$\frac{−\sqrt{17}−1}{4}$.
(2)x(2x−5)=4x−10,x(2x−5)−(4x−10)=0,x(2x−5)−2(2x−5)=0,则(2x−5)(x−2)=0,
∴2x−5=0或x−2=0,解得x₁=$\frac{5}{2}$,x₂=2.
(1)
∵b²−4ac=1²−4×2×(−2)=17,
∴x=$\frac{−1±\sqrt{17}}{2×2}$.
∴x₁=$\frac{\sqrt{17}−1}{4}$,x₂=$\frac{−\sqrt{17}−1}{4}$.
(2)x(2x−5)=4x−10,x(2x−5)−(4x−10)=0,x(2x−5)−2(2x−5)=0,则(2x−5)(x−2)=0,
∴2x−5=0或x−2=0,解得x₁=$\frac{5}{2}$,x₂=2.
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