《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

24. (8分)中考新考法操作探究如图,在矩形ABCD中,$AB= 6cm,BC= 12cm$,点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动,设运动时间为t秒.
(1)当$t= 2$时,$△DPQ$的面积为____$cm^{2}$;
(2)在运动过程中,当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时,求t的值.

答案：
(1)28　[解析]
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12cm,CD=AB=6cm,∠A=∠B=∠C=90°.由题意,得AP=tcm,BQ=2tcm,
∴BP=AB−AP=(6−t)cm,CQ=BC−BQ=(12−2t)cm.当t=2时,AP=2cm,BQ=4cm,BP=6−t=6−2=4(cm),CQ=12−2t=12−2×2=8(cm),
∴△DPQ的面积为12×6−$\frac{1}{2}$×12×2−$\frac{1}{2}$×4×4−$\frac{1}{2}$×6×8=28(cm²).
(2)
∵∠A=90°,
∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上,若点Q也在圆上,则∠PQD=90°.
∵PQ²=(6−t)²+(2t)²,DQ²=6²+(12−2t)²,DP²=t²+12²,PQ²+DQ²=t²+12²,
∴(6−t)²+(2t)²+6²+(12−2t)²=t²+12²,解得t₁=6,t₂=$\frac{3}{2}$,
∴当t=6或$\frac{3}{2}$时,A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上.

25. (9分)中考新考法最值问题我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现:如果关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两个根是x_{1}$、$x_{2}$,那么由求根公式可推出$x_{1}+x_{2}= -\frac {b}{a},x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}$,请根据这一结论,解决下列问题:
(1)若α、β是方程$2x^{2}+x-5= 0$的两根,则$α+β= $____,$α\cdot β=$____;若2、3是方程$x^{2}+px+q= 0$的两根,则$p= $____,$q= $____;
(2)已知m、n满足$m^{2}+6m-3= 0,n^{2}+6n-3= 0$,求$\frac {m}{n}+\frac {n}{m}$的值;
(3)已知a、b、c满足$a+b+c= 0,abc= 7$,则正整数c的最小值为____.

答案：
(1)−$\frac{1}{2}$　−$\frac{5}{2}$　−5　6　[解析]
∵α、β是方程2x²+x−5=0的两根,
∴α+β=−$\frac{1}{2}$,α·β=−$\frac{5}{2}$
∵2、3是方程x²+px+q=0的两根,
∴2+3=−p,2×3=q,解得p=−5,q=6.
(2)m、n满足m²+6m−3=0,n²+6n−3=0,当m=n时,原式=1+1=2;当m≠n时,m、n可看作方程x²+6x−3=0的两根,
∴m+n=−6,mn=−3,
∴原式=$\frac{m²+n²}{mn}$=$\frac{(m+n)²−2mn}{mn}$=$\frac{(−6)²−2×(−3)}{−3}$=−14.
(3)4　[解析]
∵a+b+c=0,abc=7,
∴a+b=−c,ab=$\frac{7}{c}$,
∴a、b可看作一元二次方程x²+cx+$\frac{7}{c}$=0的两根,
∵Δ=c²−4×$\frac{7}{c}$≥0,c＞0,
∴c³≥28,
∴正整数c的最小值为4.