《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

22. (8分)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接矩形,点E、F分别在射线AB、AD上,$OE= OF$,且点C、E、F在一条直线上,EF与$\odot O$相切于点C.
(1)求证:矩形ABCD是正方形;
(2)若$OF= 10$,则正方形ABCD的面积是____.

答案：
(1)连接AC.
∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形,
∴AC是⊙O的直径,
∵EF与⊙O相切于点C,
∴AC⊥EF.
∵OE=OF,
∴CF=CE,∠FOC=∠EOC,
∴∠AOF=∠AOE.
∵OA=OA,OF=OE,
∴△AOF≌△AOE(SAS),
∴AF=AE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠FAE=90°,
∴AC=$\frac{1}{2}$EF=CF=CE,
∴∠CAE=45°.
∵∠ABC=90°,
∴∠ACB=45°,
∴AB=CB,
∴矩形ABCD是正方形.
(2)40　[解析]
∵OC=OA,AC=CF,
∴CF=2OC.
∵OF=10,OF²=OC²+CF²,
∴10²=OC²+4OC²,
∴OC=$2\sqrt{5}$(负值已舍去),易得AB=$2\sqrt{10}$,
∴AB²=40,
∴正方形ABCD的面积是40.

23. (8分)如图,在$Rt△AOB$中,$∠ABO= 90^{\circ },∠OAB= 30^{\circ }$,以点O为圆心、OB的长为半径的圆交BO的延长线于点C,过点C作OA的平行线交$\odot O$于点D,连接AD.
(1)求证:AD为$\odot O$的切线;
(2)若$OB= 2$,求弧CD的长.

答案：
(1)连接OD.
∵∠OAB=30°,∠ABO=90°,
∴∠AOB=60°.又CD//AO,
∴∠C=∠AOB=60°,
∴∠BOD=2∠C=120°,
∴∠AOD=60°=∠AOB.又OB=OD,AO=AO,
∴△AOB≌△AOD(SAS),
∴∠ADO=∠ABO=90°,即OD⊥AD.又点D在⊙O上,
∴AD是⊙O的切线.
(2)
∵∠BOD=120°,
∴∠COD=60°,
∴弧CD的长为$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π.