《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

20. (8分)为满足职工群众对美好生活的新期待,促进城乡加速融合,某市总工会决定对开展职工春秋(乡村)游活动予以推进.据统计,该市某农庄今年7月接待了1280人参观游玩,后几月每月都有增加,若9月份该农庄接待了2880人参观游玩,且进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率相同.
(1)求该农庄游玩人数的月平均增长率.
(2)因条件限制,该农庄每月接待能力不超过5000人,在进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率不变的条件下,该农庄能否全部接待10月份的参观游玩人数? 并说明理由.

答案：
(1)设该农庄游玩人数的月平均增长率为x.依题意,得1280(1+x)²=2880,解得x₁=0.5=50%,x₂=-2.5(不合题意,舍去).故该农庄游玩人数的月平均增长率为50%.
(2)2880×(1+50%)=4320(人).
∵4320＜5000,
∴该农庄能全部接待10月份的参观游玩人数.

21. (8分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m= 0$.
(1)求证:无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设该方程的两个实数根为a、b,若$(2a+b)(a+2b)= 20$,求m的值.

答案：
(1)
∵Δ=[-(2m+1)]²-4(m²+m)=4m²+4m+1-4m²-4m=1＞0,
∴无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根.
(2)
∵该方程的两个实数根为a、b,
∴a+b=- $\frac{-(2m+1)}{1}$=2m+1,ab=m²+m.
∵(2a+b)(a+2b)=2a²+4ab+ab+2b²=2(a²+2ab+b²)+ab=2(a+b)²+ab,
∴2(a+b)²+ab=20,
∴2(2m+1)²+m²+m=20,整理得m²+m-2=0,解得m₁=-2,m₂=1,
∴m的值为-2或1.