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1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $,且____,那么这个三角形是直角三角形.
答案：
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
2. 满足关系____的 $ 3 $ 个正整数 $ a $,$ b $,$ c $ 称为勾股数.
答案：
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
3. (2025·广东东莞期中)下列各组数中,是勾股数的是( ).
A.$ 2 $,$ 3 $,$ 4 $
B.$ 1 $,$ 2 $,$ \sqrt { 5 } $
C.$ 1.5 $,$ 2 $,$ 2.5 $
D.$ 5 $,$ 12 $,$ 13 $
A.$ 2 $,$ 3 $,$ 4 $
B.$ 1 $,$ 2 $,$ \sqrt { 5 } $
C.$ 1.5 $,$ 2 $,$ 2.5 $
D.$ 5 $,$ 12 $,$ 13 $
答案：
D
4. 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A B = 6 \mathrm { cm } $,$ B C = 20 \mathrm { cm } $,$ B C $ 边上的中线 $ A D = 8 \mathrm { cm } $,则 $ \triangle A B C $ 的面积为____$ \mathrm { cm } ^ { 2 } $.
答案：
48
5. (2025·宿迁期末)如图,在“$ 4 × 4 $”的正方形网格中,$ \angle 1 + \angle 2 $ 的度数为____.
答案：
$45^{\circ }$
6. 中考新考法 猜想证明 (2025·镇江期中)小明在探究勾股数的规律时关注到这样几组勾股数：$ 3 $,$ 4 $,$ 5 $；$ 5 $,$ 12 $,$ 13 $；$ 7 $,$ 24 $,$ 25 $；…$ $,他发现这些勾股数都是由一个大于 $ 1 $ 的奇数和两个连续的正整数组成.
(1) 小明根据他的发现写出了这样一组数：$ 9 $,$ 40 $,$ 41 $,这是一组勾股数吗,请给出证明.
(2) 为了进一步探究这组勾股数的构成规律,小明设这样的勾股数为 $ m $,$ n $,$ n + 1 ( m $ 为大于 $ 1 $ 的奇数,且 $ m ＜ n ) $,他猜想是否可以用 $ m $ 表示出 $ n $？若可以,请帮小明完成他的猜想,若不可以,请说明理由.
(3) 当奇数 $ m = 17 $ 时,请直接写出这组勾股数.
(1) 小明根据他的发现写出了这样一组数：$ 9 $,$ 40 $,$ 41 $,这是一组勾股数吗,请给出证明.
(2) 为了进一步探究这组勾股数的构成规律,小明设这样的勾股数为 $ m $,$ n $,$ n + 1 ( m $ 为大于 $ 1 $ 的奇数,且 $ m ＜ n ) $,他猜想是否可以用 $ m $ 表示出 $ n $？若可以,请帮小明完成他的猜想,若不可以,请说明理由.
(3) 当奇数 $ m = 17 $ 时,请直接写出这组勾股数.
答案：
(1)9,40,41 是一组勾股数.理由如下:
$\because 9^{2}+40^{2}=81+1600=1681,41^{2}=1681,$
$\therefore 9^{2}+40^{2}=41^{2},$
$\therefore 9,40,41$ 是一组勾股数.
(2)可以用 m 表示出 n.理由如下:
$\because m^{2}+n^{2}=(n+1)^{2},$
$\therefore m^{2}=(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1,\therefore n=\frac {m^{2}-1}{2}.$
(3)当奇数$m=17$时,$n=\frac {m^{2}-1}{2}=\frac {17^{2}-1}{2}=144$,
∴这组勾股数是 17,144,145.
(1)9,40,41 是一组勾股数.理由如下:
$\because 9^{2}+40^{2}=81+1600=1681,41^{2}=1681,$
$\therefore 9^{2}+40^{2}=41^{2},$
$\therefore 9,40,41$ 是一组勾股数.
(2)可以用 m 表示出 n.理由如下:
$\because m^{2}+n^{2}=(n+1)^{2},$
$\therefore m^{2}=(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1,\therefore n=\frac {m^{2}-1}{2}.$
(3)当奇数$m=17$时,$n=\frac {m^{2}-1}{2}=\frac {17^{2}-1}{2}=144$,
∴这组勾股数是 17,144,145.
7. 提分优练 (2025·扬州邗江区期中)在一条东西走向的河流一侧有一村庄 $ C $,河边原有两个取水点 $ A $,$ B $,其中 $ A B = A C $,由于某种原因,由 $ C $ 到 $ A $ 的路现在已经不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点 $ D ( A , D , B $ 在同一条直线上),并新修一条路 $ C D $,测得 $ C B = 6.5 $ 千米,$ C D = 6 $ 千米,$ B D = 2.5 $ 千米. 求证：$ C D \perp A B $.
答案：
由题知$BD=2.5$千米,$CD=6$千米,$BC=6.5$千米,
在三角形 BCD 中,$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2},$
∴三角形 BCD 是直角三角形,
$\therefore ∠CDB=90^{\circ },\therefore CD⊥AB.$
在三角形 BCD 中,$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2},$
∴三角形 BCD 是直角三角形,
$\therefore ∠CDB=90^{\circ },\therefore CD⊥AB.$
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