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1. 角是轴对称图形,____所在的直线是它的对称轴.
答案：
角平分线
2. 角平分线上的点到____的距离相等.
答案：
角两边
3. 角的内部到____的点在角的平分线上.
答案：
角两边距离相等
4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 5$,$AC = 8$,$E为BC$的中点,$AD为\triangle ABC$的角平分线,$\triangle ABC的面积记为S_{1}$,$\triangle ADE的面积记为S_{2}$,则$\frac{S_{1}}{S_{2}}$为( ).
A.13
B.$\frac{26}{3}$
C.$\frac{8}{3}$
D.$\frac{13}{2}$
A.13
B.$\frac{26}{3}$
C.$\frac{8}{3}$
D.$\frac{13}{2}$
答案：
B
5. (2025·无锡惠山区期中)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$,$\angle EAC的平分线BP$,$AP相交于点P$,延长$BA$,$BC$,$PM\perp BE$,$PN\perp BF$,则下列结论中正确的是____.(填序号)
①$CP平分\angle ACF$;
②$\angle ABC + 2\angle APC = 180^{\circ}$;
③$\angle ACB = 2\angle APB$;
④$S_{\triangle PAC} = S_{\triangle MAP} + S_{\triangle NCP}$.
①$CP平分\angle ACF$;
②$\angle ABC + 2\angle APC = 180^{\circ}$;
③$\angle ACB = 2\angle APB$;
④$S_{\triangle PAC} = S_{\triangle MAP} + S_{\triangle NCP}$.
答案：
①②③④
6. (2025·安徽安庆期末)如图,$CD为Rt\triangle ABC$斜边上的高,$\angle BAC的平分线分别交CD$,$BC于点E$,$F$,$FG\perp AB$,垂足为$G$.
(1)求证:$CE = FG$;
(2)若$AC = 12$,$AB = 15$,$CE = 4$,求$\triangle ABC$的面积.
(1)求证:$CE = FG$;
(2)若$AC = 12$,$AB = 15$,$CE = 4$,求$\triangle ABC$的面积.
答案：
(1)
∵AF是∠BAC的平分线,∠ACB=90°,FG⊥AB,
∴FC=FG,∠CAF=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∠CAF+∠CFA=90°,∠DAE+∠AED=90°,
∴∠AED=∠AFC.
∵∠AED=∠CEF,
∴∠CEF=∠AFC,
∴CE=CF,
∴CE=FG.
(2)
∵CE=4,
∴FG=CF=CE=4.
∵AC=12,AB=15,
∴S△ABC=S△ACF+S△ABF=$\frac{1}{2}$AC·CF+$\frac{1}{2}$AB·FG=$\frac{1}{2}$×12×4+$\frac{1}{2}$×15×4=54,
∴△ABC的面积为54.
(1)
∵AF是∠BAC的平分线,∠ACB=90°,FG⊥AB,
∴FC=FG,∠CAF=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∠CAF+∠CFA=90°,∠DAE+∠AED=90°,
∴∠AED=∠AFC.
∵∠AED=∠CEF,
∴∠CEF=∠AFC,
∴CE=CF,
∴CE=FG.
(2)
∵CE=4,
∴FG=CF=CE=4.
∵AC=12,AB=15,
∴S△ABC=S△ACF+S△ABF=$\frac{1}{2}$AC·CF+$\frac{1}{2}$AB·FG=$\frac{1}{2}$×12×4+$\frac{1}{2}$×15×4=54,
∴△ABC的面积为54.
7. 提分优练 (2025·扬州广陵区期中)如图,在$\triangle ABC$中,点$D在边BC$上,$\angle BAD = 110^{\circ}$,$\angle ABC的平分线交AC于点E$,过点$E作EF\perp BA$,交$BA延长线于点F$,且$\angle AEF = 55^{\circ}$,连接$DE$.
(1)求$\angle CAD$的度数;
(2)求证:$DE平分\angle ADC$;
(3)若$AB = 8$,$AD = 4$,$CD = 8$,且$S_{\triangle ACD} = 15$,求$\triangle ABE$的面积.
(1)求$\angle CAD$的度数;
(2)求证:$DE平分\angle ADC$;
(3)若$AB = 8$,$AD = 4$,$CD = 8$,且$S_{\triangle ACD} = 15$,求$\triangle ABE$的面积.
答案：
(1)
∵EF⊥BA,
∴∠F=90°.
∵∠AEF=55°,
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°.
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=110°,
∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=145°−110°=35°.
(2)过点E作EG⊥AD交AD于点G,EH⊥BC交BC于点H,如图.
∵∠F=90°,∠AEF=55°,
∴∠EAF=90°−55°=35°.
由
(1)可知,∠EAF=∠CAD=35°,
∴AE平分∠FAD,
∵EF⊥AF,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴EF=EH,
∴EG=EH.
∵EG⊥AD,EH⊥BC,
∴DE平分∠ADC.
(3)
∵S△ACD=15,
∴S△ADE+S△CDE=15,
∴$\frac{1}{2}$AD·EG+$\frac{1}{2}$CD·EH=15.
∵AD=4,CD=8,EG=EH,
∴$\frac{1}{2}$×4EH+$\frac{1}{2}$×8×EH=15,
∴EH=$\frac{15}{6}$=$\frac{5}{2}$.
∵AB=8,
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$AB·EF=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{5}{2}$=10.
素养考向 本题考查了角平分线的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键.
(1)
∵EF⊥BA,
∴∠F=90°.
∵∠AEF=55°,
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°.
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=110°,
∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=145°−110°=35°.
(2)过点E作EG⊥AD交AD于点G,EH⊥BC交BC于点H,如图.
∵∠F=90°,∠AEF=55°,
∴∠EAF=90°−55°=35°.
由
(1)可知,∠EAF=∠CAD=35°,
∴AE平分∠FAD,
∵EF⊥AF,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴EF=EH,
∴EG=EH.
∵EG⊥AD,EH⊥BC,
∴DE平分∠ADC.
(3)
∵S△ACD=15,
∴S△ADE+S△CDE=15,
∴$\frac{1}{2}$AD·EG+$\frac{1}{2}$CD·EH=15.
∵AD=4,CD=8,EG=EH,
∴$\frac{1}{2}$×4EH+$\frac{1}{2}$×8×EH=15,
∴EH=$\frac{15}{6}$=$\frac{5}{2}$.
∵AB=8,
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$AB·EF=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{5}{2}$=10.
素养考向 本题考查了角平分线的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键.
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