《2025年课堂点睛七年级数学上册沪科版》

13. 已知$(m-1)a^{|m+1|}b^{3}是关于a,b$的五次单项式,则$m=$$-3$.

答案： 【解析】：
本题主要考查单项式的次数以及绝对值的性质。
首先，我们知道单项式的次数是其各个字母的指数之和。
对于单项式 $(m-1)a^{|m+1|}b^{3}$，其次数为 $|m+1| + 3$。
因为题目告诉我们这是一个五次单项式，所以我们有方程：
$|m+1| + 3 = 5$
解这个方程，我们得到两个可能的
$|m+1| = 2$
这可以分解为两个方程：
$m+1 = 2 \quad \text{或} \quad m+1 = -2$
解得：
$m = 1 \quad \text{或} \quad m = -3$
但是，我们还需要注意到单项式的系数 $m-1$ 不能为0，否则它就不是一个单项式。
因此，我们有：
$m-1 \neq 0$
解得：
$m \neq 1$
综合以上信息，我们得出 $m = -3$。
【答案】：
$m = -3$

【变式1】(凤阳县城北中学单元卷)多项式$\frac {1}{2}x^{|m|}-(m-4)x+7是关于x$的四次三项式,则$m$的值是$-4$.

答案： 【解析】：
本题主要考察多项式的次数和系数的定义。
多项式的次数是指多项式中单项式的最高次数。
而本题已经告诉我们多项式是一个四次多项式，所以我们可以通过这个信息来确定$m$的取值。
同时，我们也要注意到多项式中的每一项的系数，确保它们不会使得多项式降次。
首先，我们观察多项式的最高次项$\frac {1}{2}x^{|m|}$，
由于这是一个四次多项式，所以$|m| = 4$。
接着，我们要确保其他项的系数不为0，以免多项式降次。
特别地，我们要关注$(m-4)x$这一项，确保它的系数$m-4$不为0。
1. 解绝对值方程找到$m$的可能取值：
$|m| = 4$
这意味着$m = 4$或$m = -4$。
2. 检查其他项的系数：
当$m = 4$时，$(m-4)x$这一项会变成0，
这样多项式就变成了二项式，不符合题目中的三项式条件。
因此，$m = 4$不是一个有效的解。
当$m = -4$时，$(m-4)x = (-4-4)x = -8x$，这是一个非零项，
满足多项式是三项式的条件。
【答案】：
$m = -4$

【变式2】若多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^{2}y^{2}+1是关于x,y$的三次多项式,则$mn= $0或8.

答案： 【解析】：
首先，我们分析多项式的次数。多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^{2}y^{2}+1$中，第一项的次数是$1+|m-n|$，第二项的次数是$2+2=4$，第三项是常数项，次数为0。
因为题目要求这是一个关于$x,y$的三次多项式，所以最高次数项应为3。
观察多项式，我们可以发现第二项的次数已经超过了3，所以为了满足题目条件，第二项系数必须为0，即$n-2=0$，解得$n=2$。
接下来考虑第一项，为了使其为三次项，我们有$1+|m-n|=3$，代入$n=2$，解得$|m-2|=2$，进一步解得$m=0$或$m=4$。
所以，我们得到两组$(m,n)=(0,2)$或$(4,2)$，则$mn=0$或$8$。
【答案】：
$mn=0$或$8$。

14. 已知下列式子：①$\frac {-4x^{2}y}{3}$；②$-5.8ab^{3}$；③$\frac {6}{m}$；④$a^{2}-ab-2b^{2}$；⑤$x+\frac {z}{y}$；⑥$\frac {4m^{2}n-n+1}{2}$；⑦$a$.
哪些是多项式？分别指出它们的项和次数.

答案： 【解析】：
本题考查整式的分类，以及多项式的项和次数的概念。
首先，需要明确什么是多项式。多项式是由一个或多个单项式组成的代数式，且多项式中的每一个单项式的次数（即所有字母的指数之和）都是非负整数。同时，多项式不包含除法运算（除数不为字母），且分母中不含字母。
接下来，逐一判断给出的式子：
①$\frac{-4x^{2}y}{3}$：这是一个单项式，因为它是一个数与若干个字母的积。
②$-5.8ab^{3}$：这也是一个单项式，同样是数与若干个字母的积。
③$\frac{6}{m}$：这不是一个多项式，因为分母中含有字母。
④$a^{2}-ab-2b^{2}$：这是一个多项式，因为它由三个单项式组成。需要找出它的项和次数。
项：$a^{2}$，$-ab$，$-2b^{2}$。
次数：在这个多项式中，次数最高的单项式是$a^{2}$和$-ab$（或$-2b^{2}$，但它们的次数都是2），所以多项式的次数是2。
⑤$x+\frac{z}{y}$：这不是一个多项式，因为第二项的分母中含有字母。
⑥$\frac{4m^{2}n-n+1}{2}$：这是一个多项式，尽管它被一个数（2）除，但可以看作$\frac{4}{2}m^{2}n - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}$，即$2m^{2}n - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}$，由三个单项式组成。
项：$2m^{2}n$，$-\frac{1}{2}n$，$\frac{1}{2}$。
次数：次数最高的单项式是$2m^{2}n$，次数为$2+1=3$，所以多项式的次数是3。
⑦$a$：这是一个单项式，因为它只包含一个项。
【答案】：
多项式有：④$a^{2}-ab-2b^{2}$和⑥$\frac{4m^{2}n-n+1}{2}$（或看作$2m^{2}n - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}$）。
④$a^{2}-ab-2b^{2}$的项是$a^{2}$，$-ab$，$-2b^{2}$；次数是2。
⑥$\frac{4m^{2}n-n+1}{2}$（或看作$2m^{2}n - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}$）的项是$2m^{2}n$，$-\frac{1}{2}n$，$\frac{1}{2}$；次数是3。

15. 已知关于$x的多项式mx^{4}+(m-3)x^{3}-(n+2)x^{2}+4x-n$不含二次项和三次项,求出这个多项式.

答案： 解：因为多项式不含二次项和三次项，所以二次项系数和三次项系数均为0。
三次项系数为$m - 3$，则$m - 3 = 0$，解得$m = 3$。
二次项系数为$-(n + 2)$，则$-(n + 2) = 0$，解得$n = -2$。
将$m = 3$，$n = -2$代入原多项式，得：
$3x^{4} + (3 - 3)x^{3} - (-2 + 2)x^{2} + 4x - (-2) = 3x^{4} + 4x + 2$
答：这个多项式为$3x^{4} + 4x + 2$。

16. 已知$a^{3}+\frac {1}{2}ab^{4}-a^{m+1}b-6$是六次四项式,单项式$2x^{5-m}y^{5n}$与该多项式的次数相同,求$m^{2}+n^{2}$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的次数以及代数方程的求解。
首先，我们需要根据整式的次数定义，确定多项式$a^{3}+\frac {1}{2}ab^{4}-a^{m+1}b-6$的次数。
步骤1：确定多项式的次数
观察多项式$a^{3}+\frac {1}{2}ab^{4}-a^{m+1}b-6$，其中$a^{3}$的次数为3，$\frac {1}{2}ab^{4}$的次数为$1+4=5$，$-a^{m+1}b$的次数为$m+1+1=m+2$，常数项-6的次数为0。
由于这是一个六次四项式，所以最高次项的次数应为6。
因此，我们有$m+2=6$，解得$m=4$。
步骤2：确定单项式的次数
单项式$2x^{5-m}y^{5n}$与多项式的次数相同，即也为6次。
所以，我们有$5-m+5n=6$。
将$m=4$代入，得到$5-4+5n=6$，解得$n=1$。
步骤3：计算$m^{2}+n^{2}$
最后，我们需要计算$m^{2}+n^{2}$的值。
将$m=4$，$n=1$代入，得到$m^{2}+n^{2}=4^{2}+1^{2}=17$。
【答案】：
$m^{2}+n^{2}=17$。

17. (核心素养·运算能力)观察多项式$x-3x^{2}+5x^{3}-7x^{4}+…$的构成规律,并回答下列问题：
(1)它的第100项是$-199x^{100}$；
(2)试写出它的第2024项和第2025项；
(3)求它的第$n$($n$为正整数)项.

答案： 【解析】：
观察多项式$x-3x^{2}+5x^{3}-7x^{4}+…$，可以发现以下规律：
符号：奇数项为正，偶数项为负。这可以通过$(-1)^{n+1}$来表示，其中n为项数。
系数：系数为连续的奇数，即1, 3, 5, 7,...，可以表示为$2n-1$，其中n为项数。
指数：从1开始递增，即$x^1, x^2, x^3, ...$，可以表示为$x^n$，其中n为项数。
综合以上三点，多项式的第n项可以表示为$(-1)^{n+1}(2n-1)x^n$。
(1) 将n=100代入上述公式，得到第100项为$(-1)^{100+1}(2×100-1)x^{100} = -199x^{100}$。
(2) 将n=2024和n=2025分别代入上述公式，得到第2024项为$(-1)^{2024+1}(2×2024-1)x^{2024} = -4047x^{2024}$，第2025项为$(-1)^{2025+1}(2×2025-1)x^{2025} = 4049x^{2025}$。
(3) 第n项的一般表达式为$(-1)^{n+1}(2n-1)x^n$。
【答案】：
(1) $-199x^{100}$
(2) 第2024项是$-4047x^{2024}$，第2025项是$4049x^{2025}$
(3) 第n项是$(-1)^{n+1}(2n-1)x^n$