《2025年暑假生活指导八年级合订本青岛出版社》

14. 如图,在等边$\triangle ABC$中,$\angle ABC与\angle ACB的平分线相交于点O$,且$OD// AB$,$OE// AC$. 试判定$\triangle ODE$的形状,并说明理由.

答案： 【解析】：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。
由于BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，故∠OBD=∠OCE=30°。
又因为OD//AB，OE//AC，根据平行线的性质，∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°。
在△ODE中，∠ODE=∠OED=60°，所以∠DOE=180°-60°-60°=60°。
因此，△ODE的三个内角均为60°，是等边三角形。
【答案】：等边三角形

1. 如果由$x ＞ y可得到ax ＜ ay$,那么( ).

A.$a ＞ 0$
B.$a\geqslant 0$
C.$a ＜ 0$
D.$a\leqslant 0$

答案： C

2. 下列因式分解中,正确的是( ).

A.$x^{2} - 1 = (x - 1)^{2}$
B.$4x^{2} - 8x - 1 = 4x(x - 2) - 1$
C.$(y - 1)^{2} - 4(y - 1) + 4 = (y + 1)^{2}$
D.$2ax - 2ay = 2(ax - ay)$

答案： 本题可根据因式分解的定义和完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab + b^2$来逐一分析选项。
- **选项A：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$x^2 - 1$进行因式分解：
$x^2 - 1=x^2 - 1^2=(x + 1)(x - 1)\neq(x - 1)^2$，所以该选项**错误**。
- **选项B：
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而$4x(x - 2) - 1$是整式的差的形式，不是积的形式，所以$4x^{2} - 8x - 1 = 4x(x - 2) - 1$**不是因式分解**，该选项**错误**。
- **选项C：
把$(y - 1)$看作一个整体，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，对$(y - 1)^{2} - 4(y - 1) + 4$进行因式分解：
令$a = y - 1$，$b = 2$，则$(y - 1)^{2} - 4(y - 1) + 4=(y - 1)^2-2×2×(y - 1)+2^2=(y - 1 - 2)^2=(y - 3)^2\neq(y + 1)^2$，所以该选项**错误**。
- **选项D：
根据提取公因式法，对$2ax - 2ay$提取公因式$2$可得：
$2ax - 2ay = 2(ax - ay)$，符合因式分解的定义，所以该选项**正确**。
综上，答案是D。

3. 解不等式组：$\begin{cases}5x - 1 ＜ 3(x + 1),\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2}\leqslant 1.\end{cases} $

答案： 【解析】：解第一个不等式：$5x - 1 ＜ 3(x + 1)$，展开得$5x - 1 ＜ 3x + 3$，移项得$5x - 3x ＜ 3 + 1$，即$2x ＜ 4$，解得$x ＜ 2$。
解第二个不等式：$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} \leqslant 1$，两边同乘 6 去分母得$2(2x - 1) - 3(5x + 1) \leqslant 6$，展开得$4x - 2 - 15x - 3 \leqslant 6$，合并同类项得$-11x - 5 \leqslant 6$，移项得$-11x \leqslant 11$，两边同除以$-11$（不等号变向）得$x \geqslant -1$。
综合两个不等式的解，$-1 \leqslant x ＜ 2$。
【答案】：$-1 \leqslant x ＜ 2$

4. 计算：$(\frac{x + 2}{x^{2} - 2x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4x + 4}) ÷ \frac{x - 4}{x^{2} - 2x}$.

答案： 【解析】：首先，对原式中的各个分式进行因式分解：
分母 $x^2 - 2x = x(x - 2)$
分母 $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
除式的分母 $x^2 - 2x = x(x - 2)$，除式为 $\frac{x - 4}{x(x - 2)}$
原式可化为：
$\left( \frac{x + 2}{x(x - 2)} - \frac{x - 1}{(x - 2)^2} \right) ÷ \frac{x - 4}{x(x - 2)}$
先计算括号内的减法，通分，最简公分母为 $x(x - 2)^2$：
$\frac{(x + 2)(x - 2) - x(x - 1)}{x(x - 2)^2}$
分子展开并化简：
$(x^2 - 4) - (x^2 - x) = x^2 - 4 - x^2 + x = x - 4$
此时括号内的结果为 $\frac{x - 4}{x(x - 2)^2}$，再除以除式 $\frac{x - 4}{x(x - 2)}$，即乘以其倒数：
$\frac{x - 4}{x(x - 2)^2} × \frac{x(x - 2)}{x - 4}$
约分，分子分母中的 $x - 4$、$x$、$(x - 2)$ 分别约去，得到：
$\frac{1}{x - 2}$
【答案】：$\frac{1}{x - 2}$

5. 已知$xy = 10$,$x - y = 2$,求代数式$\frac{1}{2}x^{3}y - x^{2}y^{2} + \frac{1}{2}xy^{3}$的值.

答案： 【解析】：首先，对代数式$\frac{1}{2}x^{3}y - x^{2}y^{2} + \frac{1}{2}xy^{3}$进行因式分解。
提取公因式$\frac{1}{2}xy$可得：$\frac{1}{2}xy(x^{2} - 2xy + y^{2})$。
观察括号内的式子$x^{2} - 2xy + y^{2}$，它符合完全平方公式$(x - y)^{2}$，所以进一步化简为：$\frac{1}{2}xy(x - y)^{2}$。
已知$xy = 10$，$x - y = 2$，将其代入化简后的式子可得：
$\frac{1}{2}×10×2^{2}$
$= 5×4$
$= 20$。
【答案】：20