《2025年暑假生活指导八年级合订本青岛出版社》

10. (1)化简求值：$\frac{4x^{2} - 9}{4x^{2} + 12x + 9}$,其中$x = - 1$.
(2)已知$\frac{m}{n} = \frac{5}{3}$,求$\frac{m}{m + n} + \frac{m}{m - n} - \frac{n^{2}}{m^{2} - n^{2}}$的值.

答案： 【解析】：
(1) 首先对分子分母进行因式分解，分子$4x^2 - 9$是平方差公式，可分解为$(2x + 3)(2x - 3)$；分母$4x^2 + 12x + 9$是完全平方公式，可分解为$(2x + 3)^2$。则原式化简为$\frac{(2x + 3)(2x - 3)}{(2x + 3)^2} = \frac{2x - 3}{2x + 3}$。将$x = -1$代入，得到$\frac{2×(-1) - 3}{2×(-1) + 3} = \frac{-2 - 3}{-2 + 3} = \frac{-5}{1} = -5$。
(2) 先对原式进行通分，分母为$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$。则$\frac{m}{m + n} = \frac{m(m - n)}{(m + n)(m - n)}$，$\frac{m}{m - n} = \frac{m(m + n)}{(m + n)(m - n)}$，$\frac{n^2}{m^2 - n^2} = \frac{n^2}{(m + n)(m - n)}$。相加可得：$\frac{m(m - n) + m(m + n) - n^2}{(m + n)(m - n)} = \frac{m^2 - mn + m^2 + mn - n^2}{m^2 - n^2} = \frac{2m^2 - n^2}{m^2 - n^2}$。已知$\frac{m}{n} = \frac{5}{3}$，设$m = 5k$，$n = 3k$（$k \neq 0$），代入上式得$\frac{2×(5k)^2 - (3k)^2}{(5k)^2 - (3k)^2} = \frac{50k^2 - 9k^2}{25k^2 - 9k^2} = \frac{41k^2}{16k^2} = \frac{41}{16}$。
【答案】：
(1) -5；
(2) $\frac{41}{16}$

11. 如图,$□ ABCD的对角线相交于点O$,且$AB\neq AD$,过点$O作OE\perp BD$,交$BC于点E$. 若$\triangle CDE的周长为8cm$,求$□ ABCD$的周长.

答案： 【解析】：在平行四边形$ABCD$中，对角线相交于点$O$，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以$O$是$BD$的中点，即$OB = OD$。
因为$OE\perp BD$，所以$OE$是线段$BD$的垂直平分线。根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以点$E$在线段$BD$的垂直平分线上，因此$EB = ED$。
已知$\triangle CDE$的周长为$8cm$，$\triangle CDE$的周长$= CD + DE + EC$。由于$EB = ED$，所以$DE + EC = EB + EC = BC$。因此，$\triangle CDE$的周长$= CD + BC = 8cm$。
平行四边形的周长等于两组对边之和，即$2(AB + BC)$。又因为平行四边形的对边相等，$AB = CD$，所以$AB + BC = CD + BC = 8cm$，则平行四边形$ABCD$的周长为$2×8 = 16cm$。
【答案】：16cm

12. 解下列方程.
(1)$\frac{3x - 2}{1 - 2x} + 2 = \frac{2 - x}{2x - 1}$
(2)$\frac{2}{x + 1} = \frac{1}{1 - 2x}$

答案： 【解析】：
(1) 方程两边同乘最简公分母$2x - 1$（注意$1 - 2x = -(2x - 1)$），得：
$-(3x - 2) + 2(2x - 1) = 2 - x$
去括号：$-3x + 2 + 4x - 2 = 2 - x$
合并同类项：$x = 2 - x$
移项：$x + x = 2$
解得：$2x = 2$，$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$2x - 1 = 2×1 - 1 = 1 ≠ 0$，所以$x = 1$是原方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x + 1)(1 - 2x)$，得：
$2(1 - 2x) = x + 1$
去括号：$2 - 4x = x + 1$
移项：$-4x - x = 1 - 2$
合并同类项：$-5x = -1$
解得：$x = \frac{1}{5}$
检验：当$x = \frac{1}{5}$时，$(x + 1)(1 - 2x) = (\frac{1}{5} + 1)(1 - 2×\frac{1}{5}) = \frac{6}{5}×\frac{3}{5} = \frac{18}{25} ≠ 0$，所以$x = \frac{1}{5}$是原方程的解。
【答案】：
(1)$x = 1$；
(2)$x = \frac{1}{5}$

13. 某中学师生自愿捐款赈灾,已知第1天捐款4800元,第2天捐款6000元,第2天捐款人数比第1天捐款人数多50人,且两天人均捐款数额相等. 问：两天共有多少人参加捐款？人均捐款多少元？

答案： 【解析】：设第一天捐款人数为$x$人，则第二天捐款人数为$(x + 50)$人。根据两天人均捐款数额相等，可列方程：$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x + 50}$。
解方程：
$\begin{aligned}4800(x + 50)&=6000x\\4800x + 240000&=6000x\\6000x - 4800x&=240000\\1200x&=240000\\x&=200\end{aligned}$
经检验，$x = 200$是原方程的解，且符合题意。
则第二天捐款人数为：$200 + 50 = 250$（人）
两天共捐款人数：$200 + 250 = 450$（人）
人均捐款：$\frac{4800}{200} = 24$（元）
【答案】：450人，24元