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28. (12 分) 把形如 $ a x ^ { 2 } + b x + c $ 的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法,配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即 $ a ^ { 2 } \pm 2 a b + b ^ { 2 } = ( a \pm b ) ^ { 2 } $. 例如: $ x ^ { 2 } - 2 x + 4 = ( x - 1 ) ^ { 2 } + 3 $.
我们规定:一个整数能表示成 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $ ( $ a , b $ 是整数)的形式,则称这个数为“完美数”. 例如,10 是“完美数”,理由:因为 $ 10 = 3 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } $,所以 10 是“完美数”.
解决问题:
(1) 下列各数中,“完美数”有
①29;②48;③13;④28.
探究问题:
(2) 若 $ a ^ { 2 } - 4 a + 8 = ( a - m ) ^ { 2 } + n ^ { 2 } $ ( $ m , n $ 为常数),求 $ m n $ 的值.
(3) 已知 $ S = a ^ { 2 } + 4 a b + 5 b ^ { 2 } - 12 b + k $ ( $ a , b $ 是整数, $ k $ 是常数),当 $ k = $
拓展应用:
(4) 已知实数 $ a , b $ 满足 $ - a ^ { 2 } + 5 a + b - 7 = 0 $,求 $ a + b $ 的最小值.
我们规定:一个整数能表示成 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $ ( $ a , b $ 是整数)的形式,则称这个数为“完美数”. 例如,10 是“完美数”,理由:因为 $ 10 = 3 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } $,所以 10 是“完美数”.
解决问题:
(1) 下列各数中,“完美数”有
①③
(填序号).①29;②48;③13;④28.
探究问题:
(2) 若 $ a ^ { 2 } - 4 a + 8 = ( a - m ) ^ { 2 } + n ^ { 2 } $ ( $ m , n $ 为常数),求 $ m n $ 的值.
(3) 已知 $ S = a ^ { 2 } + 4 a b + 5 b ^ { 2 } - 12 b + k $ ( $ a , b $ 是整数, $ k $ 是常数),当 $ k = $
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时,对于任意的 $ a , b , S $ 均为“完美数”.拓展应用:
(4) 已知实数 $ a , b $ 满足 $ - a ^ { 2 } + 5 a + b - 7 = 0 $,求 $ a + b $ 的最小值.
答案：
解:
(1)①③
(2)$a^{2}-4a+8=(a-2)^{2}+4=(a-m)^{2}+n^{2}$,
$\therefore m=2,n=\pm2,\therefore mn=\pm4$.
(3)36
(4)$\because -a^{2}+5a+b-7=0$,
$\therefore b=a^{2}-5a+7$,
$\therefore a+b=a^{2}-4a+7=(a-2)^{2}+3$.
$\because (a-2)^{2}\geqslant0$,
$\therefore a+b$的最小值为3.
(1)①③
(2)$a^{2}-4a+8=(a-2)^{2}+4=(a-m)^{2}+n^{2}$,
$\therefore m=2,n=\pm2,\therefore mn=\pm4$.
(3)36
(4)$\because -a^{2}+5a+b-7=0$,
$\therefore b=a^{2}-5a+7$,
$\therefore a+b=a^{2}-4a+7=(a-2)^{2}+3$.
$\because (a-2)^{2}\geqslant0$,
$\therefore a+b$的最小值为3.
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