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14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + 2 = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ \frac { b ^ { 2 } } { b ^ { 2 } + 4 a } = $
$\frac{2}{3}$
.
答案：
$\frac{2}{3}$
15. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - ( 2 m + 3 ) x + m ^ { 2 } = 0 $ 有两个实数根,且满足 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = m ^ { 2 } $,则 $ m $ 的值是
3
.
答案：
3
16. 已知实数 $ m , n $ 满足 $ 3 m ^ { 2 } + 6 m - 5 = 0 , 3 n ^ { 2 } + 6 n - 5 = 0 $,且 $ m \neq n $,则 $ \frac { n } { m } + \frac { m } { n } = $
$-\frac{22}{5}$
.
答案：
$-\frac{22}{5}$
17. 如图 1-Z-1,矩形 $ A B C D $ 是由三个矩形拼接成的. 如果 $ A B = 8 $,阴影部分的面积是 24,另外两个小矩形全等,那么小矩形的长为____
6
.
答案：
6
18. 对于实数 $ p , q $,我们用符号 $ \min \{ p , q \} $ 表示 $ p , q $ 两数中较小的数,如 $ \min \{ 1 , 2 \} = 1 $,因此 $ \min \{ - \sqrt { 2 } , - \sqrt { 3 } \} = $
$-\sqrt{3}$
;若 $ \min \{ 2 x , x - 2 \} = x ^ { 2 } - 4 $,则 $ x $ 的值为2或$-1$
.
答案：
$-\sqrt{3}$ 2或$-1$
19. (6 分) 解方程:
(1) $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 9 $;
(2) $ 2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = 0 $.
(1) $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 9 $;
(2) $ 2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = 0 $.
答案：
(1)$x_{1}=5,x_{2}=-1$
(2)$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(1)$x_{1}=5,x_{2}=-1$
(2)$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
20. (6 分) 用适当的方法解下列方程:
(1) $ 4 ( x - 2 ) ^ { 2 } = 9 ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } $;
(2) $ ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } - 3 ( 2 x - 1 ) = 4 $.
(1) $ 4 ( x - 2 ) ^ { 2 } = 9 ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } $;
(2) $ ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } - 3 ( 2 x - 1 ) = 4 $.
答案：
(1)$x_{1}=-\frac{7}{4},x_{2}=\frac{1}{8}$
(2)$x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=0$
(1)$x_{1}=-\frac{7}{4},x_{2}=\frac{1}{8}$
(2)$x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=0$
21. (6 分) 某红色研学基地在网上宣传英雄人物事迹的活动,吸引了大批师生和社会爱国人士的关注. 今年 3 月份新增 10 万人来此基地研学,今年 5 月份研学人数新增 14.4 万人.
(1) 求 3 月份到 5 月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率;
(2) 如果能保持这个月平均增长率,那么接下来哪一个月该红色研学基地新增人数能达到 20 万人?
(1) 求 3 月份到 5 月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率;
(2) 如果能保持这个月平均增长率,那么接下来哪一个月该红色研学基地新增人数能达到 20 万人?
答案：
$(1)$ 求月平均增长率
设$3$月份到$5$月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率为$x$。
根据$3$月份新增人数$×(1 +$月平均增长率$)^{2}=5$月份新增人数，可列方程：
$10(1 + x)^{2}=14.4$
方程两边同时除以$10$得：$(1 + x)^{2}=1.44$
两边开平方得：$1 + x=\pm1.2$
当$1 + x = 1.2$时，$x = 1.2 - 1=0.2 = 20\%$；
当$1 + x=-1.2$时，$x=-1.2 - 1=-2.2$（增长率不能为负，舍去）。
$(2)$ 计算新增人数达到$20$万人的月份
由$(1)$知月平均增长率$x = 20\%$。
$5$月份新增$14.4$万人，那么$6$月份新增人数为$14.4×(1 + 20\%)=14.4×1.2 = 17.28$（万人）；
$7$月份新增人数为$17.28×(1 + 20\%)=17.28×1.2 = 20.736$（万人）$＞20$万人。
综上，$(1)$月平均增长率为$\boldsymbol{20\%}$；$(2)$接下来$\boldsymbol{7}$月份该红色研学基地新增人数能达到$20$万人。
设$3$月份到$5$月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率为$x$。
根据$3$月份新增人数$×(1 +$月平均增长率$)^{2}=5$月份新增人数，可列方程：
$10(1 + x)^{2}=14.4$
方程两边同时除以$10$得：$(1 + x)^{2}=1.44$
两边开平方得：$1 + x=\pm1.2$
当$1 + x = 1.2$时，$x = 1.2 - 1=0.2 = 20\%$；
当$1 + x=-1.2$时，$x=-1.2 - 1=-2.2$（增长率不能为负，舍去）。
$(2)$ 计算新增人数达到$20$万人的月份
由$(1)$知月平均增长率$x = 20\%$。
$5$月份新增$14.4$万人，那么$6$月份新增人数为$14.4×(1 + 20\%)=14.4×1.2 = 17.28$（万人）；
$7$月份新增人数为$17.28×(1 + 20\%)=17.28×1.2 = 20.736$（万人）$＞20$万人。
综上，$(1)$月平均增长率为$\boldsymbol{20\%}$；$(2)$接下来$\boldsymbol{7}$月份该红色研学基地新增人数能达到$20$万人。
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