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27. (12 分) 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 有两个实数根,其中一个实数根是另一个实数根的 2 倍,那么称这样的方程是“倍根方程”. 例如一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 6 x + 8 = 0 $ 的两个根是 $ x _ { 1 } = 2 , x _ { 2 } = 4 $,则方程 $ x ^ { 2 } - 6 x + 8 = 0 $ 是“倍根方程”.
(1) 方程① $ x ^ { 2 } - x - 2 = 0 $,② $ x ^ { 2 } - 2 x + \frac { 8 } { 9 } = 0 $,③ $ 6 x ^ { 2 } + x = 0 $,④ $ \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 2 x + \frac { 8 } { 3 } = 0 $ 中,是倍根方程的是____
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ ( x - 2 ) ( x - m ) = 0 $ 是“倍根方程”,求代数式 $ m ^ { 2 } + 2 m + 2 $ 的值;
(3) 若一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( b ^ { 2 } - 4 a c \geqslant 0 ) $ 是倍根方程,请直接写出 $ a , b , c $ 的等量关系.
(1) 方程① $ x ^ { 2 } - x - 2 = 0 $,② $ x ^ { 2 } - 2 x + \frac { 8 } { 9 } = 0 $,③ $ 6 x ^ { 2 } + x = 0 $,④ $ \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 2 x + \frac { 8 } { 3 } = 0 $ 中,是倍根方程的是____
②④
(填序号);(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ ( x - 2 ) ( x - m ) = 0 $ 是“倍根方程”,求代数式 $ m ^ { 2 } + 2 m + 2 $ 的值;
(3) 若一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( b ^ { 2 } - 4 a c \geqslant 0 ) $ 是倍根方程,请直接写出 $ a , b , c $ 的等量关系.
答案：
解:
(1)②④
(2)$(x-2)(x-m)=0,x-2=0$或$x-m=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=m$.
$\because (x-2)(x-m)=0$是“倍根方程”，
$\therefore m=4$或$m=1$.
当$m=4$时,$m^{2}+2m+2=16+8+2=26$;
当$m=1$时,$m^{2}+2m+2=1+2+2=5$.
综上所述,代数式$m^{2}+2m+2$的值为26或5.
(3)$\because$一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(b^{2}-4ac\geqslant0)$是倍根方程,
$\therefore$设方程的两根分别为$t,2t$,根据根与系数的关系得$t+2t=-\frac{b}{a},t\cdot2t=\frac{c}{a}$,
$\therefore t=-\frac{b}{3a},\therefore 2(-\frac{b}{3a})^{2}=\frac{c}{a}$,
$\therefore 2b^{2}=9ac$.
(1)②④
(2)$(x-2)(x-m)=0,x-2=0$或$x-m=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=m$.
$\because (x-2)(x-m)=0$是“倍根方程”，
$\therefore m=4$或$m=1$.
当$m=4$时,$m^{2}+2m+2=16+8+2=26$;
当$m=1$时,$m^{2}+2m+2=1+2+2=5$.
综上所述,代数式$m^{2}+2m+2$的值为26或5.
(3)$\because$一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(b^{2}-4ac\geqslant0)$是倍根方程,
$\therefore$设方程的两根分别为$t,2t$,根据根与系数的关系得$t+2t=-\frac{b}{a},t\cdot2t=\frac{c}{a}$,
$\therefore t=-\frac{b}{3a},\therefore 2(-\frac{b}{3a})^{2}=\frac{c}{a}$,
$\therefore 2b^{2}=9ac$.
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