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26. (14分)【生活观察】
甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:
第一次:
第二次:
(1)完成上表.表中从上到下依次填
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价 = 总金额÷总质量)
甲两次买菜的均价为
【数学思考】
(3)设甲每次买质量为m千克的菜,乙每次买金额为n元的菜,两次的菜价分别是a元/千克、b元/千克,用含有m,n,a,b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价$\overline{x}$甲,$\overline{x}$乙.比较$\overline{x}$甲,$\overline{x}$乙的大小,并说明理由.
$\overline{x}_{甲} = $
$\overline{x}_{乙} = $
理由:∵$\overline{x}_{甲} - \overline{x}_{乙} = \frac{a + b}{2} - \frac{2ab}{a + b} = \frac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)} = \frac{(a - b)^2}{2(a + b)}$,$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,
$(a - b)^2 \geq 0$,
∴$\frac{(a - b)^2}{2(a + b)} \geq 0$,即$\overline{x}_{甲} - \overline{x}_{乙} \geq 0$,
∴$\overline{x}_{甲} \geq \overline{x}_{乙}$.
【知识迁移】
(4)某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次,在水流速度为0时,船的速度为v,所需时间为t_1;如果水流速度为p时(p ＜ v),船顺水航行速度为(v + p),逆水航行速度为(v - p),所需时间为t_2.请借鉴上面的研究经验,比较t_1,t_2的大小,并说明理由.
∵$t_1 = \frac{s}{v} + \frac{s}{v} = \frac{2s}{v}$,$t_2 = \frac{s}{v + p} + \frac{s}{v - p} = \frac{s(v - p) + s(v + p)}{(v + p)(v - p)} = \frac{2sv}{v^2 - p^2}$,
∴$t_1 - t_2 = \frac{2s}{v} - \frac{2sv}{v^2 - p^2} = \frac{2s(v^2 - p^2) - 2sv^2}{v(v^2 - p^2)} = \frac{-2sp^2}{v(v^2 - p^2)}$.
∵$s ＞ 0$,$p ＞ 0$,$v ＞ 0$,$v ＞ p$,
∴$\frac{-2sp^2}{v(v^2 - p^2)} ＜ 0$,即$t_1 - t_2 ＜ 0$,
∴$t_1 ＜ t_2$.
甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:
第一次:
第二次:
(1)完成上表.表中从上到下依次填
2
,1.5
.(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价 = 总金额÷总质量)
甲两次买菜的均价为
$\frac{3 + 2}{1 + 1} = 2.5$
(元/千克);乙两次买菜的均价为$\frac{3 + 3}{1 + 1.5} = 2.4$
(元/千克).【数学思考】
(3)设甲每次买质量为m千克的菜,乙每次买金额为n元的菜,两次的菜价分别是a元/千克、b元/千克,用含有m,n,a,b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价$\overline{x}$甲,$\overline{x}$乙.比较$\overline{x}$甲,$\overline{x}$乙的大小,并说明理由.
$\overline{x}_{甲} = $
$\frac{a + b}{2}$
(元/千克),$\overline{x}_{乙} = $
$\frac{2ab}{a + b}$
(元/千克).$\overline{x}_{甲} \geq \overline{x}_{乙}$
.理由:∵$\overline{x}_{甲} - \overline{x}_{乙} = \frac{a + b}{2} - \frac{2ab}{a + b} = \frac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)} = \frac{(a - b)^2}{2(a + b)}$,$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,
$(a - b)^2 \geq 0$,
∴$\frac{(a - b)^2}{2(a + b)} \geq 0$,即$\overline{x}_{甲} - \overline{x}_{乙} \geq 0$,
∴$\overline{x}_{甲} \geq \overline{x}_{乙}$.
【知识迁移】
(4)某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次,在水流速度为0时,船的速度为v,所需时间为t_1;如果水流速度为p时(p ＜ v),船顺水航行速度为(v + p),逆水航行速度为(v - p),所需时间为t_2.请借鉴上面的研究经验,比较t_1,t_2的大小,并说明理由.
$t_1 ＜ t_2$
.理由:∵$t_1 = \frac{s}{v} + \frac{s}{v} = \frac{2s}{v}$,$t_2 = \frac{s}{v + p} + \frac{s}{v - p} = \frac{s(v - p) + s(v + p)}{(v + p)(v - p)} = \frac{2sv}{v^2 - p^2}$,
∴$t_1 - t_2 = \frac{2s}{v} - \frac{2sv}{v^2 - p^2} = \frac{2s(v^2 - p^2) - 2sv^2}{v(v^2 - p^2)} = \frac{-2sp^2}{v(v^2 - p^2)}$.
∵$s ＞ 0$,$p ＞ 0$,$v ＞ 0$,$v ＞ p$,
∴$\frac{-2sp^2}{v(v^2 - p^2)} ＜ 0$,即$t_1 - t_2 ＜ 0$,
∴$t_1 ＜ t_2$.
答案：
解:
(1)表中从上到下依次填2,1.5.
(2)甲两次买菜的均价为$\frac{3 + 2}{1 + 1} = 2.5$(元/千克);乙两次买菜的均价为$\frac{3 + 3}{1 + 1.5} = 2.4$(元/千克).
(3)$\overline{x}_{甲} = \frac{am + bm}{m + m} = \frac{a + b}{2}$(元/千克),
$\overline{x}_{乙} = \frac{n + n}{\frac{n}{a} + \frac{n}{b}} = \frac{2n}{\frac{n(b + a)}{ab}} = \frac{2ab}{a + b}$(元/千克).
$\overline{x}_{甲} \geq \overline{x}_{乙}$.
理由:
∵$\overline{x}_{甲} - \overline{x}_{乙} = \frac{a + b}{2} - \frac{2ab}{a + b} = \frac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)} = \frac{(a - b)^2}{2(a + b)}$,$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,
$(a - b)^2 \geq 0$,
∴$\frac{(a - b)^2}{2(a + b)} \geq 0$,即$\overline{x}_{甲} - \overline{x}_{乙} \geq 0$,
∴$\overline{x}_{甲} \geq \overline{x}_{乙}$.
(4)$t_1 ＜ t_2$.理由:
∵$t_1 = \frac{s}{v} + \frac{s}{v} = \frac{2s}{v}$,$t_2 = \frac{s}{v + p} + \frac{s}{v - p} = \frac{s(v - p) + s(v + p)}{(v + p)(v - p)} = \frac{2sv}{v^2 - p^2}$,
∴$t_1 - t_2 = \frac{2s}{v} - \frac{2sv}{v^2 - p^2} = \frac{2s(v^2 - p^2) - 2sv^2}{v(v^2 - p^2)} = \frac{-2sp^2}{v(v^2 - p^2)}$.
∵$s ＞ 0$,$p ＞ 0$,$v ＞ 0$,$v ＞ p$,
∴$\frac{-2sp^2}{v(v^2 - p^2)} ＜ 0$,即$t_1 - t_2 ＜ 0$,
∴$t_1 ＜ t_2$.
(1)表中从上到下依次填2,1.5.
(2)甲两次买菜的均价为$\frac{3 + 2}{1 + 1} = 2.5$(元/千克);乙两次买菜的均价为$\frac{3 + 3}{1 + 1.5} = 2.4$(元/千克).
(3)$\overline{x}_{甲} = \frac{am + bm}{m + m} = \frac{a + b}{2}$(元/千克),
$\overline{x}_{乙} = \frac{n + n}{\frac{n}{a} + \frac{n}{b}} = \frac{2n}{\frac{n(b + a)}{ab}} = \frac{2ab}{a + b}$(元/千克).
$\overline{x}_{甲} \geq \overline{x}_{乙}$.
理由:
∵$\overline{x}_{甲} - \overline{x}_{乙} = \frac{a + b}{2} - \frac{2ab}{a + b} = \frac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)} = \frac{(a - b)^2}{2(a + b)}$,$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,
$(a - b)^2 \geq 0$,
∴$\frac{(a - b)^2}{2(a + b)} \geq 0$,即$\overline{x}_{甲} - \overline{x}_{乙} \geq 0$,
∴$\overline{x}_{甲} \geq \overline{x}_{乙}$.
(4)$t_1 ＜ t_2$.理由:
∵$t_1 = \frac{s}{v} + \frac{s}{v} = \frac{2s}{v}$,$t_2 = \frac{s}{v + p} + \frac{s}{v - p} = \frac{s(v - p) + s(v + p)}{(v + p)(v - p)} = \frac{2sv}{v^2 - p^2}$,
∴$t_1 - t_2 = \frac{2s}{v} - \frac{2sv}{v^2 - p^2} = \frac{2s(v^2 - p^2) - 2sv^2}{v(v^2 - p^2)} = \frac{-2sp^2}{v(v^2 - p^2)}$.
∵$s ＞ 0$,$p ＞ 0$,$v ＞ 0$,$v ＞ p$,
∴$\frac{-2sp^2}{v(v^2 - p^2)} ＜ 0$,即$t_1 - t_2 ＜ 0$,
∴$t_1 ＜ t_2$.
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