《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

25. (8 分) 阅读下列材料:
“ $ a ^ { 2 } \geqslant 0 $ ”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式. 例如: $ x ^ { 2 } + 4 x + 5 = x ^ { 2 } + 4 x + 4 + 1 = ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 $.
$ \because ( x + 2 ) ^ { 2 } \geqslant 0 $,
$ \therefore ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 \geqslant 1 $.
$ \therefore x ^ { 2 } + 4 x + 5 \geqslant 1 $.
试利用“配方法”解决下列问题:
(1) 填空: $ x ^ { 2 } - 4 x + 5 = ( x $-2$ ) ^ { 2 } + 1 $;
(2) 已知 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 x - 2 y - 5 $,求 $ x y $ 的值;
(3) 比较代数式 $ 2 x ^ { 2 } - 1 $ 与 $ 4 x - 5 $ 的大小.
(2)-2
(3)$2x^{2}-1＞4x-5$

答案：
(1)$-2$
(2)$-2$
(3)$2x^{2}-1＞4x-5$

26. (12 分) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( x - 1 ) ( x - 2 ) = m + 1 $ ( $ m $ 为常数).
(1) 若它的一个实数根是关于 $ x $ 的方程 $ 2 ( x - m ) - 4 = 0 $ 的根,求 $ m $ 的值;
(2) 若它的一个实数根是关于 $ x $ 的方程 $ 2 ( x - n ) - 4 = 0 $ 的根,求证: $ m + n \geqslant - 2 $.

答案： 解:
(1)解关于x的方程$2(x-m)-4=0$,
得$x=m+2$.
把$x=m+2$代入方程$(x-1)(x-2)=m+1$,
得$(m+2-1)(m+2-2)=m+1$,
整理得$m^{2}=1$,解得$m=1$或$m=-1$.
(2)证明:解关于x的方程$2(x-n)-4=0$,
得$x=n+2$.
把$x=n+2$代入方程$(x-1)(x-2)=m+1$,
得$(n+2-1)(n+2-2)=m+1$,
整理得$m=n^{2}+n-1$,
$\therefore m+n=n^{2}+2n-1=(n+1)^{2}-2$.
$\because (n+1)^{2}\geqslant0$,
$\therefore (n+1)^{2}-2\geqslant-2$,即$m+n\geqslant-2$.