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1. 如果4是关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+k= 0$的一个根,则方程的另一个根是()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：
A 【点拨】设方程的另一个根为t,利用根与系数的关系得$4 + t = 6$,然后解关于t的方程即可.
2. [2023 怀化] 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+mx-2= 0$的一个根为-1,则m的值为______,另一个根为______.
答案：
$-1$；$2$
3. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+ax-5= 0$.
(1) 求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程有一个根是1,求方程的另一个根.
(1) 求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程有一个根是1,求方程的另一个根.
答案：
【解析】：1. 对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$。在方程$x^{2}+ax - 5 = 0$中，$A = 1$，$B = a$，$C=-5$，则$\Delta=a^{2}-4\times1\times(-5)=a^{2}+20$。因为任何数的平方都为非负数，即$a^{2}\geqslant0$，所以$a^{2}+20\gt0$，所以方程总有两个不相等的实数根。
2. 设方程的另一个根为$m$，根据韦达定理，在一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$中，两根$x_1$，$x_2$有$x_1x_2=\frac{C}{A}$。已知方程$x^{2}+ax - 5 = 0$有一个根是$1$，设另一个根为$m$，$A = 1$，$C=-5$，则$1\times m=\frac{-5}{1}$，解得$m = - 5$。
【答案】：1. 证明见解析 2. -5
2. 设方程的另一个根为$m$，根据韦达定理，在一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$中，两根$x_1$，$x_2$有$x_1x_2=\frac{C}{A}$。已知方程$x^{2}+ax - 5 = 0$有一个根是$1$，设另一个根为$m$，$A = 1$，$C=-5$，则$1\times m=\frac{-5}{1}$，解得$m = - 5$。
【答案】：1. 证明见解析 2. -5
4. 已知实数a,b分别满足$a^{2}-6a+4= 0,b^{2}-6b+4= 0$,且$a≠b$,则$a^{2}+b^{2}$的值为()
A. 36
B. 50
C. 28
D. 25
A. 36
B. 50
C. 28
D. 25
答案：
C
5. [2024 东莞一模] 关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m= 0的两实数根x_{1},x_{2}满足x_{1}x_{2}= 2$,则$(x_{1}^{2}+2)(x_{2}^{2}+2)$的值是()
A. 8
B. 16
C. 32
D. 16或40
A. 8
B. 16
C. 32
D. 16或40
答案：
C
6. [2024 广州越秀区模拟] 已知m,n是方程$x^{2}+2x-2023= 0$的两个实数根,则$m^{2}+3m+n$的值为______.
答案：
2021
7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x-m^{2}-m= 0(m＞0)$.
(1) 试判断这个方程根的情况;
(2) 若对于$m= 1,2,3,…,2022$,相应的一元二次方程的两个根分别记为$\alpha_{1},\beta_{1},\alpha_{2},\beta_{2},…,\alpha_{2022},\beta_{2022}$,求$\frac{1}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\beta_{1}}+\frac{1}{\alpha_{2}}+\frac{1}{\beta_{2}}+…+\frac{1}{\alpha_{2022}}+\frac{1}{\beta_{2022}}$的值.
(1) 试判断这个方程根的情况;
(2) 若对于$m= 1,2,3,…,2022$,相应的一元二次方程的两个根分别记为$\alpha_{1},\beta_{1},\alpha_{2},\beta_{2},…,\alpha_{2022},\beta_{2022}$,求$\frac{1}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\beta_{1}}+\frac{1}{\alpha_{2}}+\frac{1}{\beta_{2}}+…+\frac{1}{\alpha_{2022}}+\frac{1}{\beta_{2022}}$的值.
答案：
【解析】：
1. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}+2x - m^{2}-m = 0$中，$a = 1$，$b = 2$，$c=-m^{2}-m$，则$\Delta=2^{2}-4\times1\times(-m^{2}-m)$。
化简$\Delta$：
$\Delta = 4 + 4m^{2}+4m=4(m^{2}+m + 1)$。
对于二次函数$y = m^{2}+m + 1$，其判别式$\Delta_{1}=1^{2}-4\times1\times1=1 - 4=-3\lt0$，且二次项系数$1\gt0$，所以$y = m^{2}+m + 1\gt0$恒成立。
那么$\Delta = 4(m^{2}+m + 1)\gt0$，所以这个方程有两个不相等的实数根。
2. 根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，则$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}+2x - m^{2}-m = 0$，当$m$取不同值时，设方程的两根为$\alpha_m$，$\beta_m$，则$\alpha_m+\beta_m=-2$，$\alpha_m\beta_m=-m^{2}-m=-m(m + 1)$。
所以$\frac{1}{\alpha_m}+\frac{1}{\beta_m}=\frac{\beta_m+\alpha_m}{\alpha_m\beta_m}=\frac{-2}{-m(m + 1)}=\frac{2}{m(m + 1)} = 2(\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1})$。
当$m = 1,2,3,\cdots,2022$时：
$\frac{1}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\beta_{1}}+\frac{1}{\alpha_{2}}+\frac{1}{\beta_{2}}+\cdots+\frac{1}{\alpha_{2022}}+\frac{1}{\beta_{2022}}$
$=2[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023})]$
根据去括号法则，括号前是正号，去括号后各项不变号，上式$=2(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023})$。
中间项可以相互抵消，得到$2(1-\frac{1}{2023})$。
计算$2\times(1 - \frac{1}{2023})=2\times\frac{2022}{2023}=\frac{4044}{2023}$。
【答案】：1. 这个方程有两个不相等的实数根 2. $\frac{4044}{2023}$
1. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}+2x - m^{2}-m = 0$中，$a = 1$，$b = 2$，$c=-m^{2}-m$，则$\Delta=2^{2}-4\times1\times(-m^{2}-m)$。
化简$\Delta$：
$\Delta = 4 + 4m^{2}+4m=4(m^{2}+m + 1)$。
对于二次函数$y = m^{2}+m + 1$，其判别式$\Delta_{1}=1^{2}-4\times1\times1=1 - 4=-3\lt0$，且二次项系数$1\gt0$，所以$y = m^{2}+m + 1\gt0$恒成立。
那么$\Delta = 4(m^{2}+m + 1)\gt0$，所以这个方程有两个不相等的实数根。
2. 根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，则$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}+2x - m^{2}-m = 0$，当$m$取不同值时，设方程的两根为$\alpha_m$，$\beta_m$，则$\alpha_m+\beta_m=-2$，$\alpha_m\beta_m=-m^{2}-m=-m(m + 1)$。
所以$\frac{1}{\alpha_m}+\frac{1}{\beta_m}=\frac{\beta_m+\alpha_m}{\alpha_m\beta_m}=\frac{-2}{-m(m + 1)}=\frac{2}{m(m + 1)} = 2(\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1})$。
当$m = 1,2,3,\cdots,2022$时：
$\frac{1}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\beta_{1}}+\frac{1}{\alpha_{2}}+\frac{1}{\beta_{2}}+\cdots+\frac{1}{\alpha_{2022}}+\frac{1}{\beta_{2022}}$
$=2[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023})]$
根据去括号法则，括号前是正号，去括号后各项不变号，上式$=2(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023})$。
中间项可以相互抵消，得到$2(1-\frac{1}{2023})$。
计算$2\times(1 - \frac{1}{2023})=2\times\frac{2022}{2023}=\frac{4044}{2023}$。
【答案】：1. 这个方程有两个不相等的实数根 2. $\frac{4044}{2023}$
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