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1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,边$BC在x$轴上,顶点$A$,$B的坐标分别为(-2,6)和(7,0)$。将正方形$OCDE沿x$轴向右平移,当点$E落在AB$边上时,点$D$的坐标为()
A. $(\frac{3}{2},2)$
B. $(\frac{11}{4},2)$
C. $(2,2)$
D. $(4,2)$
A. $(\frac{3}{2},2)$
B. $(\frac{11}{4},2)$
C. $(2,2)$
D. $(4,2)$
答案：
C 【点拨】
∵点$A(-2,6)$，$∠ACB=90^{\circ}$，边$BC$在$x$轴上，
∴$OC=2$．
∴正方形$OCDE$的边长为$2$．
∴点$E$坐标为$(0,2)$．
设直线$AB$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$A(-2,6)$和点$B(7,0)$的坐标代入表达式，
得$\left\{\begin{array}{l} -2k+b=6,\\ 7k+b=0,\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l} k=-\frac {2}{3},\\ b=\frac {14}{3}.\end{array}\right.$
∴直线$AB$的表达式为$y=-\frac {2}{3}x+\frac {14}{3}$．
根据平移的性质，当点$E$落在$AB$边上时，
令$y=2$，则$-\frac {2}{3}x+\frac {14}{3}=2$，解得$x=4$．
∴平移后点$E$的坐标为$(4,2)$．
∴平移后点$D$的坐标为$(2,2)$．
∵点$A(-2,6)$，$∠ACB=90^{\circ}$，边$BC$在$x$轴上，
∴$OC=2$．
∴正方形$OCDE$的边长为$2$．
∴点$E$坐标为$(0,2)$．
设直线$AB$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$A(-2,6)$和点$B(7,0)$的坐标代入表达式，
得$\left\{\begin{array}{l} -2k+b=6,\\ 7k+b=0,\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l} k=-\frac {2}{3},\\ b=\frac {14}{3}.\end{array}\right.$
∴直线$AB$的表达式为$y=-\frac {2}{3}x+\frac {14}{3}$．
根据平移的性质，当点$E$落在$AB$边上时，
令$y=2$，则$-\frac {2}{3}x+\frac {14}{3}=2$，解得$x=4$．
∴平移后点$E$的坐标为$(4,2)$．
∴平移后点$D$的坐标为$(2,2)$．
2. 如图,将矩形$ABCD沿对角线AC$剪开,再把$\triangle ACD沿CA方向平移得到\triangle A_1C_1D_1$,连接$AD_1$,$BC_1$,若$\angle ACB = 30^{\circ}$,$AB = 1$,$CC_1 = x$,$\triangle ACD与\triangle A_1C_1D_1重叠部分的面积为S$,则下列结论：①$\triangle A_1AD_1 \cong \triangle CC_1B$；②当$x = 1$时,四边形$ABC_1D_1$是菱形；③当$x = 2$时,以点$B$,$D_1$为顶点的三角形为等边三角形。其中正确的是()
A. ①②③
B. ①②
C. ②③
D. ①③
A. ①②③
B. ①②
C. ②③
D. ①③
答案：
A 【点拨】
∵四边形$ABCD$为矩形，
∴$∠ABC=90^{\circ}$，$BC=AD$，$BC// AD$．
∴$∠DAC=∠ACB$．
∵把$\triangle ACD$沿$CA$方向平移得到$\triangle A_{1}C_{1}D_{1}$，
∴$∠D_{1}A_{1}A=∠DAC=∠ACB$，$A_{1}D_{1}=AD=BC$，$A_{1}C_{1}=AC$．
∴$A_{1}C_{1}-AC_{1}=AC-AC_{1}$，即$AA_{1}=CC_{1}$．
在$\triangle A_{1}AD_{1}$和$\triangle CC_{1}B$中，$\left\{\begin{array}{l} AA_{1}=C_{1}C,\\ ∠D_{1}A_{1}A=∠BCC_{1},\\ D_{1}A_{1}=BC,\end{array}\right.$
∴$\triangle A_{1}AD_{1}\cong \triangle CC_{1}B(SAS)$．
故①正确；
∵$∠ACB=30^{\circ}$，$∠ABC=90^{\circ}$，
∴$∠CAB=60^{\circ}$．
∵$AB=1$，
∴$AC=2$．
∵$x=1$，
∴$AC_{1}=1$．
∴$AC_{1}=AB$．
∴$\triangle AC_{1}B$为等边三角形．
同理可得$\triangle AC_{1}D_{1}$为等边三角形．
∴$AB=BC_{1}=C_{1}D_{1}=D_{1}A$．
∴四边形$ABC_{1}D_{1}$为菱形．
故②正确；
连接$BD$，$DD_{1}$，$D_{1}B$．
当$x=2$，即点$C_{1}$与点$A$重合时，
根据矩形性质和平移性质可得$BD=DD_{1}=BD_{1}=2$，
∴以点$B$，$D$，$D_{1}$为顶点的三角形为等边三角形．
故③正确．故选A．
∵四边形$ABCD$为矩形，
∴$∠ABC=90^{\circ}$，$BC=AD$，$BC// AD$．
∴$∠DAC=∠ACB$．
∵把$\triangle ACD$沿$CA$方向平移得到$\triangle A_{1}C_{1}D_{1}$，
∴$∠D_{1}A_{1}A=∠DAC=∠ACB$，$A_{1}D_{1}=AD=BC$，$A_{1}C_{1}=AC$．
∴$A_{1}C_{1}-AC_{1}=AC-AC_{1}$，即$AA_{1}=CC_{1}$．
在$\triangle A_{1}AD_{1}$和$\triangle CC_{1}B$中，$\left\{\begin{array}{l} AA_{1}=C_{1}C,\\ ∠D_{1}A_{1}A=∠BCC_{1},\\ D_{1}A_{1}=BC,\end{array}\right.$
∴$\triangle A_{1}AD_{1}\cong \triangle CC_{1}B(SAS)$．
故①正确；
∵$∠ACB=30^{\circ}$，$∠ABC=90^{\circ}$，
∴$∠CAB=60^{\circ}$．
∵$AB=1$，
∴$AC=2$．
∵$x=1$，
∴$AC_{1}=1$．
∴$AC_{1}=AB$．
∴$\triangle AC_{1}B$为等边三角形．
同理可得$\triangle AC_{1}D_{1}$为等边三角形．
∴$AB=BC_{1}=C_{1}D_{1}=D_{1}A$．
∴四边形$ABC_{1}D_{1}$为菱形．
故②正确；
连接$BD$，$DD_{1}$，$D_{1}B$．
当$x=2$，即点$C_{1}$与点$A$重合时，
根据矩形性质和平移性质可得$BD=DD_{1}=BD_{1}=2$，
∴以点$B$，$D$，$D_{1}$为顶点的三角形为等边三角形．
故③正确．故选A．
3. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 4$,$BC = 8$,沿$AD方向平移\triangle ABC得到\triangle EOF$,$EO交AC于点G$,$CD交EF于点H$,记$AE = m(m ＜ 8)$。
(1) 当$m$为何值时,四边形$OCDE$是正方形？
(2) 连接$AO$,$DF$,当$m$为何值时,四边形$AOFD$是菱形？
(1) 当$m$为何值时,四边形$OCDE$是正方形？
(2) 连接$AO$,$DF$,当$m$为何值时,四边形$AOFD$是菱形？
答案：
【解】
(1)
∵四边形$OCDE$是正方形，
∴$DE=OE$．
∵沿$AD$方向平移$\triangle ABC$得到$\triangle EOF$，
∴$OE=AB=4$．
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC=8$．
∴$AE=4$．
∴当$m=4$时，四边形$OCDE$是正方形．
(2)
∵四边形$AOFD$是菱形，
∴$AO=OF$．
∵沿$AD$方向平移$\triangle ABC$得到$\triangle EOF$，
∴$OF=BC=8$．
∴$AO=8$．
易知$\triangle AEO$为直角三角形，
∴$AE=\sqrt {AO^{2}-OE^{2}}=\sqrt {8^{2}-4^{2}}=4\sqrt {3}$．
∴当$m=4\sqrt {3}$时，四边形$AOFD$是菱形．
(1)
∵四边形$OCDE$是正方形，
∴$DE=OE$．
∵沿$AD$方向平移$\triangle ABC$得到$\triangle EOF$，
∴$OE=AB=4$．
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC=8$．
∴$AE=4$．
∴当$m=4$时，四边形$OCDE$是正方形．
(2)
∵四边形$AOFD$是菱形，
∴$AO=OF$．
∵沿$AD$方向平移$\triangle ABC$得到$\triangle EOF$，
∴$OF=BC=8$．
∴$AO=8$．
易知$\triangle AEO$为直角三角形，
∴$AE=\sqrt {AO^{2}-OE^{2}}=\sqrt {8^{2}-4^{2}}=4\sqrt {3}$．
∴当$m=4\sqrt {3}$时，四边形$AOFD$是菱形．
4. (1) 将矩形纸片$ABCD沿过点D$的直线折叠,使点$A落在CD上的点A'$处,得到折痕$DE$,如图①。求证：四边形$AEA'D$是正方形。
(2) 将图①中的矩形纸片$ABCD沿过点E$的直线折叠,点$C恰好落在AD上的点C'$处,点$B落在点B'$处,得到折痕$EF$,$B'C'交AB于点M$,如图②。线段$MC'与ME$是否相等？若相等,请给出证明；若不等,请说明理由。
(2) 将图①中的矩形纸片$ABCD沿过点E$的直线折叠,点$C恰好落在AD上的点C'$处,点$B落在点B'$处,得到折痕$EF$,$B'C'交AB于点M$,如图②。线段$MC'与ME$是否相等？若相等,请给出证明；若不等,请说明理由。
答案：
(1)【证明】
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠A=∠ADC=90^{\circ}$．
∵将矩形纸片$ABCD$沿过点$D$的直线折叠，使点$A$落在$CD$上的点$A'$处，得到折痕$DE$，
∴$AD=A'D$，$∠DA'E=∠A=90^{\circ}$．
∴四边形$AEA'D$是正方形．
(2)【解】$MC'=ME$．
证明如下：连接$C'E$．
∵四边形$AEA'D$是正方形，
∴$AD=AE$．
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC$，$∠EAC'=∠B=90^{\circ}$．
由折叠知，$B'C'=BC$，$∠B=∠B'$，
∴$AE=B'C'$，$∠EAC'=∠B'$．
在$Rt\triangle EC'A$和$Rt\triangle C'EB'$中，
$\left\{\begin{array}{l} EC'=C'E,\\ AE=B'C',\end{array}\right.$
∴$Rt\triangle EC'A\cong Rt\triangle C'EB'(HL)$．
∴$∠C'EA=∠EC'B'$．
∴$MC'=ME$．
(1)【证明】
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠A=∠ADC=90^{\circ}$．
∵将矩形纸片$ABCD$沿过点$D$的直线折叠，使点$A$落在$CD$上的点$A'$处，得到折痕$DE$，
∴$AD=A'D$，$∠DA'E=∠A=90^{\circ}$．
∴四边形$AEA'D$是正方形．
(2)【解】$MC'=ME$．
证明如下：连接$C'E$．
∵四边形$AEA'D$是正方形，
∴$AD=AE$．
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC$，$∠EAC'=∠B=90^{\circ}$．
由折叠知，$B'C'=BC$，$∠B=∠B'$，
∴$AE=B'C'$，$∠EAC'=∠B'$．
在$Rt\triangle EC'A$和$Rt\triangle C'EB'$中，
$\left\{\begin{array}{l} EC'=C'E,\\ AE=B'C',\end{array}\right.$
∴$Rt\triangle EC'A\cong Rt\triangle C'EB'(HL)$．
∴$∠C'EA=∠EC'B'$．
∴$MC'=ME$．
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