《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

4. 以四边形$ABCD的边AB$,$AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和等边三角形ADE$, 连接$EB$,$FD$, 交点为$G$.
(1) 当四边形$ABCD$为正方形时, 如图①,$EB和FD$的数量关系是______.
(2) 当四边形$ABCD$为矩形时, 如图②,$EB和FD$具有怎样的数量关系? 请加以证明.
(3) 如图③, 在四边形$ABCD$由正方形到矩形再到一般平行四边形的变化过程中,$EB和FD$具有怎样的数量关系? 请直接写出结论, 无需证明.

答案：
(1)[解]EB=FD[点拨]
∵△ABF和△ADE都是等边三角形，
∴AF=AB,AD=AE,∠FAB=∠EAD=60°.
∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD,
　即∠FAD=∠EAB.
∴△ABE≌△AFD.
∴EB=FD.
(2)[解]EB=FD.证明如下:
　
∵△ABF和△ADE是等边三角形，
　
∴AF=AB,AD=AE,∠FAB=∠EAD=60°.
　
∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD,
　　即∠FAD=∠EAB.
　
∴△ABE≌△AFD.
　
∴EB=FD.
(3)[解]EB=FD.

5. 如图①, 四边形$ABCD$是正方形,$\triangle ABE$是等边三角形,$M为对角线BD$(不含$B$点) 上任意一点, 将$BM绕点B逆时针旋转60^{\circ}得到BN$, 连接$EN$,$AM$,$CM$.
(1) 连接$MN$,$\triangle BMN$是等边三角形吗? 为什么?
(2) 求证:$\triangle AMB\cong\triangle ENB$.
(3) ①当$M$点在何处时,$AM + CM$的值最小;
②如图②, 当$M$点在何处时,$AM + BM + CM$的值最小, 请你画出图形, 并说明理由.

答案：

(1)[解]△BMN是等边三角形.
　理由如下:
∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,
∴BM=BN,∠MBN=60°.
∴△BMN是等边三角形.
(2)[证明]
∵△ABE是等边三角形,
　
∴AB=EB,∠ABE=∠MBN=60°.
　
∴∠ABE−∠ABN=∠MBN−∠ABN,
　　即∠EBN=∠ABM.
　在△AMB和△ENB中,{AB=EB,∠ABM=∠EBN,BM=BN}
∴△AMB≌△ENB(SAS).
(3)[解]①由两点之间线段最短可知A,M,C三点共线时，AM+CM的值最小.
∵四边形ABCD是正方形，
∴点M为BD的中点.
　②如图,当M点在CE与BD的交点处时,AM+BM+CM的值最小.
　理由如下:由
(2)得△AMB≌△ENB,
∴AM=EN.
∵△BMN是等边三角形，
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
　由两点之间线段最短可知，点E,N,M,C在同一直线上时，EN+MN+CM的值最小，
　故当M点在CE与BD的交点处时，AM+BM+CM的值最小.