《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

7. 若$\triangle ABC的边a$,$b满足式子a^{2}+6b^{2}-8b + 8 = 4ab$,则第三边的长$x$可能是()
A. 2
B. 5
C. 7
D. 8

答案： B 【点拨】$\because a^{2} + 6b^{2} - 8b + 8 = 4ab$，
$\therefore (a - 2b)^{2} + 2(b - 2)^{2} = 0$.
$\therefore a - 2b = 0$，$b - 2 = 0$.
$\therefore a = 2b$，$b = 2$.
$\therefore a = 4$.
$\therefore 4 - 2 ＜ x ＜ 4 + 2$.
$\therefore$第三边的长$x$的取值范围是$2 ＜ x ＜ 6$.
故选 B.

8. 已知一个三角形三边长为$a$,$b$,$c$,且满足$a^{2}-4b = 7$,$b^{2}-4c = -6$,$c^{2}-6a = -18$,则此三角形的形状是()
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形

答案： A 【点拨】$\because a^{2} - 4b = 7$，$b^{2} - 4c = - 6$，$c^{2} - 6a = - 18$，
$\therefore a^{2} - 4b + b^{2} - 4c + c^{2} - 6a = - 17$.
$\therefore (a - 3)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 2)^{2} = 0$.
$\therefore a = 3$，$b = 2$，$c = 2$.
$\therefore$此三角形是等腰三角形.
故选 A.

9. 我们知道：$x^{2}-6x = (x^{2}-6x + 9)-9 = (x - 3)^{2}-9$；$-x^{2}+10x = -(x^{2}-10x + 25)+25 = -(x - 5)^{2}+25$,这种方法称为配方法,请利用配方法解决以下各题：
(1)探究：求代数式$a^{2}-4a$的最小值．
(2)应用：如图,已知线段$AB = 6$,$M是AB$上的一个动点,设$AM = x$,以$AM为一边作正方形AMND$,再以$MB$,$MN为一组邻边作长方形MBCN$．问：当点$M在AB$上运动时,长方形$MBCN$的面积是否存在最大值？若存在,请求出这个最大值；若不存在,请说明理由．

答案： 【解】
(1)$\because a^{2} - 4a = a^{2} - 4a + 4 - 4 = (a - 2)^{2} - 4 \geq - 4$，
$\therefore$代数式$a^{2} - 4a$的最小值为$-4$.
(2)存在.设长方形$MBCN$的面积为$S$.
根据题意得$S = x(6 - x) = - x^{2} + 6x = - (x - 3)^{2} + 9 \leq 9$，
$\therefore$长方形$MBCN$的面积存在最大值，最大值为$9$.

10. 先仔细阅读下列例题,再解决问题．
已知$m^{2}-4m + n^{2}+6n + 13 = 0$,求$m和n$的值．
解：把等式左边变形,得$(m^{2}-4m + 4)+(n^{2}+6n + 9) = 0$,
即$(m - 2)^{2}+(n + 3)^{2}= 0$．
$\because(m - 2)^{2}\geqslant0$,$(n + 3)^{2}\geqslant0$,
$\therefore m - 2 = 0$,$n + 3 = 0$,即$m = 2$,$n = -3$．
仿照以上解法,解决下列问题：
(1)无论$x$,$y$取何值,多项式$x^{2}+y^{2}-2x - 4y + 6$的值总是()；
A. 正数
B. 负数
C. 非正数
D. 非负数
(2)已知$\triangle ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,且$a^{2}+b^{2}-12a - 16b+\sqrt{c - 10}+100 = 0$,则$\triangle ABC$为______三角形；
(3)已知$x^{2}-4xy + 5y^{2}+y+\frac{1}{4}= 0$,求$x和y$的值．

答案： 【解】
(1)A
(2)直角
(3)$\because x^{2} - 4xy + 5y^{2} + y + \frac{1}{4} = 0$，
$\therefore x^{2} - 4xy + 4y^{2} + y^{2} + y + \frac{1}{4} = 0$.
$\therefore (x - 2y)^{2} + (y + \frac{1}{2})^{2} = 0$.
$\because (x - 2y)^{2} \geq 0$，$(y + \frac{1}{2})^{2} \geq 0$，
$\therefore x - 2y = 0$，$y + \frac{1}{2} = 0$，
解得$x = - 1$，$y = - \frac{1}{2}$.
【点拨】
(1)$x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 6$
$= x^{2} - 2x + 1 + y^{2} - 4y + 4 + 1$
$= (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 1$.
$\because (x - 1)^{2} \geq 0$，$(y - 2)^{2} \geq 0$，
$\therefore (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 1 ＞ 0$.
故选 A.
(2)$\because a^{2} + b^{2} - 12a - 16b + \sqrt{c - 10} + 100 = 0$，
$\therefore a^{2} - 12a + 36 + b^{2} - 16b + 64 + \sqrt{c - 10} = 0$.
$\therefore (a - 6)^{2} + (b - 8)^{2} + \sqrt{c - 10} = 0$.
$\because (a - 6)^{2} \geq 0$，$(b - 8)^{2} \geq 0$，$\sqrt{c - 10} \geq 0$，
$\therefore a - 6 = 0$，$b - 8 = 0$，$c - 10 = 0$.
$\therefore a = 6$，$b = 8$，$c = 10$.
$\because a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$，$c^{2} = 10^{2} = 100$，$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}$.
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形.