《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

4. 我们知道,解一元二次方程,可以把它转化为两个一元一次方程来解,其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程。例如：一元三次方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0$,可以通过因式分解把它转化为$x(x^{2}+x-2)= 0$,通过解方程$x= 0和x^{2}+x-2= 0$,可得方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0$的解。
(1) 方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0的解是x_{1}= 0$,$x_{2}= $______,$x_{3}= $______。
(2) 用“转化”的思想求方程$\sqrt {2x+3}= x$的解。
(3) 直接写出$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4y^{2}= 0,\\ x+y= 1\end{array}\right.$的解：______。

答案： 【解】
(1) 1；-2
(2)
∵$\sqrt{2x+3}$=x,
∴2x+3=x²(x≥0),即x²−2x−3=0。
∴(x+1)(x−3)=0。
∴x+1=0或x−3=0,
解得x₁=−1(不合题意，舍去),x₂=3。
∴方程$\sqrt{2x+3}$=x的解为x=3。
(3)$\left\{\begin{array}{l}x_{1}=2, \\ y_{1}=-1,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x_{2}=\frac{2}{3}, \\ y_{2}=\frac{1}{3}\end{array}\right.$
【点拨】
∵$\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4 y^{2}=0, \\ x+y=1,\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}x+2 y=0, \\ x+y=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-2 y=0, \\ x+y=1,\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x_{1}=2, \\ y_{1}=-1,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x_{2}=\frac{2}{3}, \\ y_{2}=\frac{1}{3}\end{array}\right.$。