《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

5. (新考向 数学文化)古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中,形如$x^{2}+ax= b^{2}(a＞0,b＞0)$的方程的图解法是:如图①,以$\frac {a}{2}和b为两直角边作Rt\triangle ABC$,再在斜边上截取$BD= \frac {a}{2}$,则$AD$的长就是所求方程的正根.已知关于$x的一元二次方程x^{2}+mx= 16$,按照图①,构造图②,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,连接$CD$,若$\frac {S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle ACD}}= \frac {3}{2}$,则$m$的值为()

A. 3
B. 4
C. 6
D. 8

答案： C【点拨】$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = BD = \frac{m}{2}$，$AC = 4$，$\therefore AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \frac{\sqrt{m^2 + 64}}{2}$。$\therefore AD = AB - BD = \frac{\sqrt{m^2 + 64}}{2} - \frac{m}{2} = \frac{\sqrt{m^2 + 64} - m}{2}$。$\because \frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{3}{2}$，$\therefore \frac{BD}{AD} = \frac{3}{2}$，即$\frac{\frac{m}{2}}{\frac{\sqrt{m^2 + 64} - m}{2}} = \frac{3}{2}$。$\therefore 5m = 3\sqrt{m^2 + 64}$。$\therefore 25m^2 = 9(m^2 + 64)$，解得$m = 6$或$m = -6$。根据题意得$m ＞ 0$，$\therefore m = 6$。经检验，$m = 6$是原方程的解。故选C。

6. 华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法,对于$x^{2}+bx+c= 0$,将等式左边进行因式分解,得到以下形式:
$x^{2}+bx+c= (x-m)\cdot (x-n)$(从这里可以看出方程的解为$x_{1}= m,x_{2}= n$),
即$x^{2}+bx+c= x^{2}-(m+n)x+mn$.
$\because m+n= -b,\therefore m,n的平均数为-\frac {b}{2}$.不妨设$m= -\frac {b}{2}+p,n= -\frac {b}{2}-p$,
利用$x_{1}\cdot x_{2}= mn$,得$(-\frac {b}{2}+p)\cdot (-\frac {b}{2}-p)= mn= c,\therefore (-\frac {b}{2})^{2}-p^{2}= c$,即能求出$p$的值.
举例如下:解一元二次方程$x^{2}-2x-4= 0$,由于$-\frac {b}{2}= 1$,∴方程的两个根为$1\pm p$,而$1^{2}-p^{2}= -4$,解得$p= \pm \sqrt {5}$,∴方程的解为$x_{1}= 1+\sqrt {5},x_{2}= 1-\sqrt {5}$.
请运用以上方法解如下方程:
①$x^{2}-2\sqrt {3}x-4= 0$;
②$3x^{2}-\sqrt {11}x+\frac {1}{2}= 0$.

答案： 【解】①$x^2 - 2\sqrt{3}x - 4 = 0$。$\because -\frac{b}{2} = \sqrt{3}$，$\therefore$方程的两个根为$\sqrt{3} \pm p$。$\because 3 - p^2 = -4$，$\therefore p = \pm \sqrt{7}$。$\therefore x_1 = \sqrt{3} + \sqrt{7}$，$x_2 = \sqrt{3} - \sqrt{7}$。②$3x^2 - \sqrt{11}x + \frac{1}{2} = 0$，两边同时除以$3$，得$x^2 - \frac{\sqrt{11}}{3}x + \frac{1}{6} = 0$。$\because -\frac{b}{2} = \frac{\sqrt{11}}{6}$，$\therefore$方程的两个根为$\frac{\sqrt{11}}{6} \pm p$。$\because \frac{11}{36} - p^2 = \frac{1}{6}$，$\therefore p = \pm \frac{\sqrt{5}}{6}$。$\therefore x_1 = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{5}}{6}$，$x_2 = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{6}$。