《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

5. 如图,D,E 分别是 $ \triangle ABC $ 的边 AC,AB 上的点,$ AD = 6 $,$ AB = 10 $,$ BC = 12 $,且 $ \frac{AE}{AC} = \frac{3}{5} $。
(1) 求证：$ \triangle ADE \backsim \triangle ABC $；
(2) 求 DE 的长。

答案：
(1)[证明]
∵AD=6,AB=10,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$.
　又
∵$\frac{AE}{AC}$=$\frac{3}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$.
　又
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
(2)[解]
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$.
　
∵BC=12,$\frac{AE}{AC}$=$\frac{3}{5}$,
∴DE=$\frac{36}{5}$.

6. 如图,$ \angle ADE = \angle ACB $,$ BD = 10 $,$ CE = 6 $,$ CF = 3 $。
(1) 求证：$ \triangle DBF \backsim \triangle CEF $；
(2) 求 DF 的长。

答案：
(1)[证明]
∵∠ADE=∠ACB,∠ADE+∠BDF=180°,∠ACB+∠ECF=180°,
∴∠BDF=∠ECF.
　又
∵∠DFB=∠CFE,
∴△DBF∽△CEF.
(2)[解]
∵△DBF∽△CEF,
∴$\frac{DB}{CE}$=$\frac{DF}{CF}$,
　
∵BD=10,CE=6,CF=3,
　
∴DF=$\frac{DB\cdot CF}{CE}$=$\frac{10×3}{6}$=5.

7. 已知：如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 D,G 分别在边 AB,BC 上,$ \angle ACD = \angle B $,AG 与 CD 相交于点 F。
(1) 求证：$ AC^{2} = AD \cdot AB $；
(2) 若 $ \frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG} $,求证：AG 是 $ \angle BAC $ 的平分线。

答案：
(1)[证明]
∵∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC,
∴△CAD∽△BAC;
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$.
∴$AC^{2}$=AD·AB.
(2)[证明]
∵△CAD∽△BAC,
∴∠ADF=∠ACB.
　　又
∵$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DF}{CG}$,
∴△ADF∽△ACG.
　
∴∠DAF=∠CAF.
　
∴AG是∠BAC的平分线.