《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2024 南宁青秀区模拟] 如图, 在$\square ABCD$中, 对角线$AC$,$BD交于点O$,$E是BD$延长线上一点, 且$\triangle ACE$是等边三角形.
(1) 求证: 四边形$ABCD$是菱形;
(2) 若$\angle AED= 2\angle EAD$,$AB = a$, 求四边形$ABCD$的面积.

答案：
(1)[证明]
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC.
∵△ACE是等边三角形,
∴EO⊥AC,即BD⊥AC.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)[解]
∵△ACE是等边三角形，
　
∴∠EAC=∠AEC=60°.
　　又
∵AO=OC,
　
∴∠AEO=∠OEC=30°.
　
∵∠AED=2∠EAD,
　
∴∠EAD=15°.
　
∴∠DAO=∠EAO−∠EAD=45°.
　
∵四边形ABCD是菱形，
　
∴∠BAD=2∠DAO=90°.
　
∴四边形ABCD是正方形.
　
∴四边形ABCD的面积=AB²=a².

2. 如图所示, 在等边三角形$ABC$中,$BC = 8\mathrm{cm}$, 射线$AG// BC$, 点$E从点A出发沿射线AG以1\mathrm{cm}/s$的速度运动, 同时点$F从点B出发沿射线BC以2\mathrm{cm}/s$的速度运动, 设运动时间为$t\mathrm{s}$.
(1) 连接$EF$, 当$EF经过AC边的中点D$时, 连接$AF$,$CE$, 求证: 四边形$AFCE$是平行四边形;
(2) ①当$t$为何值时, 四边形$ACFE$是菱形;
②当$t$为何值时,$\triangle ACE的面积是\triangle ACF的面积的2$倍.

答案：
(1)[证明]
∵AG//BC,
∴∠DAE=∠DCF.
∵D是AC边的中点,
∴AD=CD.
　在△DAE和△DCF中,{∠DAE=∠DCF,AD=CD,∠ADE=∠CDF}
∴△DAE≌△DCF(ASA).
∴AE=CF.
　又
∵AE//CF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)[解]当运动时间为t s时,AE=t cm,BF=2t cm,CF=|8−2t|cm.
　　①
∵△ABC为等边三角形，
　
∴AC=BC=8 cm.
　　当AE=AC时,t=8,此时CF=|8−2t|=|8−2×8|=8(cm).
∴AE=CF.
　　又
∵AE//CF,
　
∴四边形ACFE是平行四边形.
　　又
∵AE=AC,
　
∴四边形ACFE是菱形，
　　即当t=8时，四边形ACFE是菱形.
　②当0＜t＜4时,CF=(8−2t)cm,AE=t cm,
　
∴t=2(8−2t),
　解得t=16/5;
　　当t＞4时,CF=(2t−8)cm,AE=t cm,
∴t=2(2t−8),
解得t=16/3.
　
∴当t为16/5或16/3时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍.

3. (新趋势 学科内综合) 在平面直角坐标系中, 矩形$ABCD的顶点A$,$B分别在y$轴,$x$轴上, 当点$B在x$轴上运动时, 点$A也随之在y$轴上运动, 矩形$ABCD$的形状保持不变, 其中$AB = 6$,$BC = 2$.
(1) 如图①, 取$AB的中点E$, 连接$OE$,$DE$, 求$OE + DE$的值.
(2) 如图②, 若以$AB为边长在第一象限内作等边三角形ABP$, 在运动过程中, 点$P$到原点的最大距离是多少?

答案：

(1)[解]根据题意可知∠AOB=∠DAB=90°.
∵E是AB的中点，
∴OE=AE=1/2AB=3.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2.
∴DE=√(AD²+AE²)=√(2²+3²)=√13.
∴OE+DE=3+√13.
(2)[解]如图,取AB的中点E,连接OE,PE,OP,则OE=BE=1/2AB=3.
　
∵△ABP是等边三角形,
　
∴PB=AB=6,PE⊥AB.
　　
　
∴PE=√(BP²−BE²)=√(6²−3²)=3√3.
　　当P,E,O三点共线时,OP取得最大值,OP最大=OE+PE=3+3√3.
　
∴点P到原点的最大距离是3+3√3;