《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

4. 如图,矩形ABCD中,$AB= 4$,$BC= 3$,若在AC,AB上各取一点M,N,使$BM+MN$的值最小,则这个最小值为 ()

A. $2\sqrt{3}$
B. $\frac{2\sqrt{119}}{5}$
C. $2\sqrt{10}$
D. $\frac{96}{25}$

答案：
D [点拨]如图,作点B关于AC的对称点H,HB交AC于O,连接AH,HM,HN,
则AB = AH = 4,HM = BM,BO = HO.
∴BM + MN = HM + MN.
当点H,M,N共线且HN⊥AB时,MN + HM取得最小值,即MN + BM取得最小值，最小值为HN的长.
易知∠ABC = 90°,BH⊥AC;
∵AB = 4,BC = 3,
∴AC = √(AB² + BC²)=√(4² + 3²)=5.
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·BC = $\frac{1}{2}$AC·BO,
∴BO = $\frac{4×3}{5}$ = $\frac{12}{5}$.
∴BH = $\frac{24}{5}$.
在Rt△AOB中,AO = √(AB² - BO²)=√(4² - ($\frac{12}{5}$)²) = $\frac{16}{5}$.
∵S△ABH = $\frac{1}{2}$AB·HN = $\frac{1}{2}$BH·AO.
∴HN = $\frac{BH·AO}{AB}$ = $\frac{\frac{24}{5}×\frac{16}{5}}{4}$ = $\frac{96}{25}$.
∴BM + MN的最小值为$\frac{96}{25}$.
故选D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

5. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD平分$∠ABC$,$BC= 8$,$∠ABC= 45^{\circ}$,在对角线BD上有一动点P,边BC上有一动点Q,使$PQ+PC$的值最小,则这个最小值为 ()

A. 4
B. $4\sqrt{2}$
C. $4\sqrt{3}$
D. 8

答案： B [点拨]连接AP,AQ.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠ADB = ∠CBD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD = ∠CBD.
∴∠ABD = ∠ADB,
∴AB = AD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
∴点A,C关于BD对称.
∴AP = CP.
∴PQ + PC = PQ + PA.
当A,P,Q三点共线且AQ⊥BC时,PQ + PA取得最小值，即PQ + PC取得最小值，最小值为AQ的长.
∵∠ABC = 45°,
∴△ABQ是等腰直角三角形.
易知AB = BC = 8,
∴易得AQ = 4√2
∴PQ+PC的最小值为4√2
故选B.

6. 如图,矩形ABCD中,$AB= 4$,$BC= 2$,G是AD的中点,线段EF在边AB上左右滑动,若$EF= 1$,则$GE+CF$的最小值为______.

答案：
3√2 [点拨]如图,作G关于AB的对称点G',在CD上截取CH = 1,然后连接HG'交AB于E,在EB上截取EF = 1,此时GE + CF的值最小.
易得GA = G'A,GE = G'E,AB//CD,CD = AB = 4,AD = BC = 2,∠D = 90°.
∵CH = EF = 1,AB//CD
∴四边形EFCH是平行四边形.
∴EH = CF.
∴GE + CF = G'E + EH = G'H.
∵CD = 4,CH = 1,AD = 2,G为边AD的中点,
∴AG = 1,DH = 4 - 1 = 3.
∴DG' = AD + AG' = AD + AG = 2 + 1 = 3.
在Rt△HDG'中,由勾股定理得HG' = √(3² + 3²)=3√2,
即GE + CF的最小值为3√2
　　　　　　　　　　　　　　　　

7. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y= -\frac{3}{4}x+b$分别与x轴、y轴交于点A,B,且点A的坐标为$(4,0)$,四边形ABCD是正方形.
(1)填空:$b= $______;
(2)求点D的坐标;
(3)若M为x轴上的动点,N为y轴上的动点,求四边形MNCD周长的最小值.

答案：
[解]
(1)3 [点拨]
∵点A(4,0)在直线y = -$\frac{3}{4}$x + b上,
∴-$\frac{3}{4}$×4 + b = 0,解得b = 3.
(2)由
(1)知b = 3,故直线AB的表达式为y = -$\frac{3}{4}$x + 3.
当x = 0时,y = 3,
∴点B的坐标为(0,3),
∴OB = 3.
∵A(4,0),
∴OA = 4.
如图①,过点D作DE⊥x轴于点E,
　　　　　　　　　　　　　　　　　
则∠DEA = 90° = ∠AOB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD,∠BAD = 90°.
∴∠BAO + ∠DAE = 90°.
又
∵∠BAO + ∠ABO = 90°,
∴∠DAE = ∠ABO,
在△DAE和△ABO中,$\begin{cases}\angle DAE = \angle ABO,\\\angle DEA = \angle AOB,\\DA = AB,\end{cases}$
∴△DAE ≌ △ABO(AAS).
∴DE = OA = 4,AE = OB = 3.
∴OE = OA + AE = 4 + 3 = 7.
∴点D的坐标为(7,4).
(3)
∵正方形ABCD中,A(4,0),B(0,3),D(7,4),
∴xC = xB + xD - xA = 0 + 7 - 4 = 3,yC = yB + yD - yA = 3 + 4 - 0 = 7.
∴C(3,7).
如图②,作点C关于y轴的对称点C',作点D关于x轴的对称点D',连接C'D'交y轴于点N,交x轴于点M,则C'(-3,7),D'(7,-4).
易知此时四边形MNCD的周长最小.
　　　　　　　　　　　　　
由轴对称的性质可知NC = NC',MD = MD',
∴NC + NM + MD + CD = NC' + NM + MD' + CD = C'D' + CD.
易得C'D' = √[(7 - (-3))² + ((-4) - 7)²]=√221,
CD = AB = √(4² + 3²)=5,
∴四边形MNCD周长的最小值为√221 + 5.