《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 已知实数$x,y,z满足x= 6-y,z^{2}= xy-9$,求证：$x= y$。

答案： 【证明】
∵实数$x,y,z$满足$x=6-y,z^{2}=xy-9,$
$\therefore x+y=6,xy=z^{2}+9.$
可以设两根为$x,y$的一元二次方程为$a^{2}-6a+z^{2}+9=0,$
$\therefore \Delta =(-6)^{2}-4(z^{2}+9)=36-4z^{2}-36=-4z^{2}.$
∵方程有两个根，$\therefore -4z^{2}≥0.$
$\therefore z=0.\therefore \Delta =0.$
∴方程有两个相等的实数根，即$x=y.$

2. 已知实数$a,b,c满足a+b+c= 2,abc= 4$。求$a,b,c$中最大者的最小值。

答案： 【解】设$a$是$a,b,c$中的最大者，即$a≥b,a≥c.$
由题意知$a＞0$且$b+c=2-a,bc=\frac {4}{a},$
$\therefore b,c$可视为一元二次方程$x^{2}-(2-a)x+\frac {4}{a}=0$的两个实数根.
$\therefore \Delta =[-(2-a)]^{2}-4×\frac {4}{a}≥0.\therefore a^{3}-4a^{2}+4a-16≥0.$
$\therefore (a^{2}+4)(a-4)≥0.\therefore a≥4.$
又
∵当$a=4$时，$b=c=-1$，满足题意，
$\therefore a,b,c$中最大者的最小值为4.

3. 求方程$x^{2}+xy+y^{2}-3x-3y+3= 0$的实数解。

答案： 【解】将方程化为关于$x$的方程$x^{2}+(y-3)x+(y^{2}-3y+3)=0.$
该方程的根的判别式$\Delta =(y-3)^{2}-4(y^{2}-3y+3)$
$=-3y^{2}+6y-3$
$=-3(y-1)^{2}.$
∵方程有实数解，$\therefore \Delta ≥0,$
解得$y=1.$
将$y=1$代入原方程，
得$x^{2}-2x+1=0,$
解得$x_{1}=x_{2}=1.$
故原方程的实数解是$x=1,y=1.$

4. 求方程$14x^{2}-4xy+11y^{2}-88x+34y+149= 0$的实数解。

答案： 【解】原方程化为$14x^{2}-(4y+88)x+(11y^{2}+34y+149)=0.$
∵方程有实数解，
$\therefore \Delta =[-(4y+88)]^{2}-4×14×(11y^{2}+34y+149)≥0,$
整理，得$y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}≤0.\therefore y=-1.$
将$y=-1$代入原方程，得$14x^{2}-84x+126=14(x-3)^{2}=0,$
解得$x_{1}=x_{2}=3.$
∴方程$14x^{2}-4xy+11y^{2}-88x+34y+149=0$的实数解为$x=3,y=-1.$