《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

[对点训练 1]
(1) (多选题) (2024·湖南长沙模拟)“不等式 $ x^2 - x + m ＞ 0 $ 在 $ \mathbf{R} $ 上恒成立”的一个充分不必要条件是(CD)
A.$ m ＞ \frac{1}{4} $
B.$ m ＜ 2 $
C.$ m = 1 $
D.$ m \geq 2 $

答案： [对点训练 1]
(1)CD
 解析
(1)
∵不
等式$x^{2}-x+m＞0$在R上恒成立，
∴$(-1)^{2}-4m$＜0,解得m＞1/4,这是其
充要条件，由于{m|m=1}⊆{m|m＞
1/4},{m|m≥2}⊆{m|m＞1/4},
∴其充
分不必要条件可以是m=1或m≥2,故
选CD.

(2) (2024·辽宁沈阳检测)设 $ x \in \mathbf{R} $，则 $ \lg x ＞ \ln x $ 的充要条件是(D)
A.$ x ＞ 0 $
B.$ x ＞ 1 $
C.$ x ＞ 10 $
D.$ 0 ＜ x ＜ 1 $

答案：
(2)由lgx＞lnx,得lgx/lge＞0,即
lgx(1-1/lge)＞0,可判断1-1/lge＜0,
∴lgx＜0,
∴0＜x＜1.
答案：D

例$ 3 (2024·$山东青岛检测$)$已知集合$ A $是函数$ f(x) = \sqrt{x - 1} + 2\sqrt{5 - x} $的定义域，非空集合$ B = \{x | 1 - m \leq x \leq 1 + 2m\} ，$若$ x \in A $是$ x \in B $的必要不充分条件，则实数$ m $的取值范围是　　${0}$　　。　　

答案： 考点$2 {0} $解析$ $依题意$,A=${$x|1≤x≤$　　
$5$}$,$由于集合$B={x|1-m≤x≤1+2m}$　　
非空，所以$1-m≤1+2m,$即$m≥0.$因为　　
$x∈A$是$x∈B$的必要不充分条件，所以　　
$B$是$A$的真子集，则有$m≥0$且　　
$1-m≥1,1+2m≤5,($两个等号不同时取到$)，$解得　　
$m=0,$故实数$m$的取值范围是${0}.$　　

____

答案：

(变条件)本例中，其他条件不变，若改为“$ x \in A $ 是 $ x \in B $ 的充分不必要条件”，再求实数 $ m $ 的取值范围为[2,+∞)。

答案： 变式探究1 [2,+∞) 解析 因为x∈A
是x∈B的充分而不必要条件，所以A是
B的真子集，所以m≥0，且
1-m≤1,1+2m≥5,(两个等号不同时取到)，解得
m≥2,即实数m的取值范围是[2,+∞).

(变条件)本例中，其他条件不变，试探究是否存在实数 $ m $，使得 $ x \in A $ 是 $ x \in B $ 的充要条件？
____

答案： 变式探究2 解 不存在.若x∈A是x∈B
的充要条件，则有m≥0且A=B,即
1-m=1,1+2m=5,此方程组无解，故不存在实
数m,使得x∈A是x∈B的充要条件.

[对点训练 2]
(1) (2024·广东惠州模拟)设 $ p: \log_{\frac{1}{3}}(2x + 1) ＞ m $；$ q: \frac{1}{x} ＞ 1 $。若 $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件，则实数 $ m $ 的取值范围是(D)
A.$[1, +\infty)$
B.$(-\infty, 1]$
C.$[-1, +\infty)$
D.$(-\infty, -1]$

答案： [对点训练 2]
(1)D

(2) (2024·山东潍坊模拟)若“$ x = \alpha $”是“$ \sin x + \cos x ＞ 1 $”的一个充分条件，则 $ \alpha $ 的一个可能值是π/4。

答案：
(2)π/4(答案不唯一，只
需满足α∈(2kπ,2kπ+π/2)(k∈Z)即
可) 

例 4 (1) (2024·安徽合肥模拟)命题“$\forall \alpha \in (0, \frac{\pi}{4})$，$ \sin^2 \alpha + \tan 2\alpha ＞ 2 $”的否定为(C)
A.$\forall \alpha \in (0, \frac{\pi}{4})$，$ \sin^2 \alpha + \tan 2\alpha \leq 2 $
B.$\exists \alpha \in (0, \frac{\pi}{4})$，$ \sin^2 \alpha + \tan 2\alpha ＞ 2 $
C.$\exists \alpha \in (0, \frac{\pi}{4})$，$ \sin^2 \alpha + \tan 2\alpha \leq 2 $
D.$\exists \alpha \notin (0, \frac{\pi}{4})$，$ \sin^2 \alpha + \tan 2\alpha \leq 2 $

答案： 例 4
(1)C

(2) (2024·山西太原模拟)命题“存在等差数列 $\{a_n\}$，满足 $ a_5^2 = a_3 a_7 $”的否定是____。

答案：
(2)对于任意一个等差数列
${a_{n}},$都不满足$a_{5}^{2}=a_{3}a_{7} $