《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

2. 对数及对数运算

答案： 2.b $\log_{a}N$ 底数 真数 $x=\log_{a}N 0＜ 1 N$ $\log_{a}M-\log_{a}N$ $n\log_{a}M$

1. 思考辨析(判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”).
(1) $ (-3)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-3} = \sqrt[6]{(-3)^2} $. (×)
(2) $ \log_2 a^2 = 2\log_2 |a| $. (√)
(3) 若 $ MN ＞ 0 $，则 $ \log_a (MN) = \log_a M + \log_a N $($ a ＞ 0 $，$ a \neq 1 $). (×)
(4) $ (m^2)^{\frac{1}{4}} = (m^{\frac{1}{4}})^2 $. (×)

答案： 1.
(1)$×$
(2)$\surd$
(3)$×$
(4)$×$

2. 已知 $ a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3 $，则 $ a + a^{-1} = $ 7，$ a^2 + a^{-2} = $ 47.

答案： 2.7 47 解析由$a^{2}+a^{-2}=3$,得$(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})^{2}=9$,所以$a+a^{-1}+2=9$,因此$a+a^{-1}=7$,所以$(a+a^{-1})^{2}=49$,即$a^{2}+a^{-2}+2=49$,于是$a^{2}+a^{-2}=47$.

3. 计算 $ (\lg 5)^2 + \lg 2 × \lg 50 $ 的值.1

答案： 3.解$(\lg5)^{2}+\lg2×\lg50=(\lg5)^{2}+(1-\lg5)×(1+\lg5)=(\lg5)^{2}+1-(\lg5)^{2}=1$.

4. (2021·天津，7) 若 $ 2^a = 5^b = 10 $，则 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = $(C)

A.$ -1 $
B.$ \lg 7 $
C.$ 1 $
D.$ \log_7 10 $

答案： 4.C 解析$\because2^{a}=5^{b}=10$,$\therefore a=\log_{2}10$,$b=\log_{5}10$,$\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{\log_{2}10}+\frac{1}{\log_{5}10}=\lg2+\lg5=\lg10=1$.故选C.

5. (2022·浙江，7) 已知 $ 2^a = 5 $，$ \log_8 3 = b $，则 $ 4^{a - 3b} = $(C)

A.$ 25 $
B.$ 5 $
C.$ \frac{25}{9} $
D.$ \frac{5}{3} $

答案： 5.C 解析由$\log_{8}3=b$,得$8^{b}=3$,即$2^{3b}=3$,则$2^{a - 3b}=\frac{2^{a}}{2^{3b}}=\frac{5}{3}$,所以$4^{a - 3b}=\frac{25}{9}$,故选C.

6. (2021·全国甲，理 4) 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 $ L $ 和小数记录法的数据 $ V $ 满足 $ L = 5 + \lg V $. 已知某同学视力的五分记录法的数据为 $ 4.9 $，则其视力的小数记录法的数据约为($ \sqrt[10]{10} \approx 1.259 $)(C)

A.$ 1.5 $
B.$ 1.2 $
C.$ 0.8 $
D.$ 0.6 $

答案： 6.C 解析由题意$L = 5+\lg V$,当$L = 4.9$时,有$4.9=5+\lg V$,$\lg V=-0.1$,$V=\frac{1}{10^{0.1}}\approx\frac{1}{\sqrt[10]{10}}\approx\frac{1}{1.259}\approx0.8$.