《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

如图，在三棱柱$BCF - ADE$中，若$G$，$H$分别是线段$AC$，$DF$的中点.
(1)求证：$GH//$平面$BFC$.
(2)在线段$CD$上是否存在一点$P$，使得平面$GHP//$平面$BCF$？若存在，指出点$P$的具体位置并证明；若不存在，请说明理由.(1)证明连接BD.∵四边形ABCD为平行四边形，G是AC的中点，∴G也是线段BD的中点，∴G，H分别是线段BD，DF的中点，∴GH//BF.
　又BF⊂平面BFC，GH⊄平面BFC，∴GH//平面BFC.
　(2)解存在，P是线段CD的中点，证明如下：
　由(1)可知GH//BF，GH⊂平面GHP，
　BF⊄平面GHP，∴BF//平面GHP.连接PG，PH.
　∵P，H分别是线段CD，DF的中点，
　∴HP//CF，HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP，∴CF//平面GHP，BF∩CF = F，
　BF⊂平面BCF，CF⊄平面BCF，
　∴平面GHP//平面BCF.
　　　　　　　　　　

提醒：完成课时规范练52(B册)

答案：
对点训练4　
(1)证明连接BD.
∵四边形ABCD为平行四边形，G是AC的中点，
∴G也是线段BD的中点，
∴G，H分别是线段BD，DF的中点，
∴GH//BF.
　又BF⊂平面BFC，GH⊄平面BFC，
∴GH//平面BFC.
(2)解存在，P是线段CD的中点，证明如下：
　由
(1)可知GH//BF，GH⊂平面GHP，
　BF⊄平面GHP，
∴BF//平面GHP.连接PG，PH.
∵P，H分别是线段CD，DF的中点，
∴HP//CF，HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP，
∴CF//平面GHP，BF∩CF = F，
　BF⊂平面BCF，CF⊄平面BCF，
∴平面GHP//平面BCF.
　　　　　　　　　　

1. 直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 内的任何一条直线都垂直，那么称直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 垂直，记作 $ l \perp \alpha $. 直线 $ l $ 称为平面 $ \alpha $ 的垂线，平面 $ \alpha $ 称为直线 $ l $ 的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 $ P $ 称为垂足.
(2)判定定理与性质定理

微点拨 定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直. 如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.
微思考 空间中任意一直线 $ m $，在平面 $ \alpha $ 内是否存在无数条直线与 $ m $ 垂直？

答案：
1.
(1)垂线　垂面　
(2)平行 $a\bot \alpha$
微思考　提示存在,如图