《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

5. (2022·天津，2)“$ x $ 为整数”是“$ 2x + 1 $ 为整数”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 5.A 解析 若x为整数，则2x+1一定为
整数；但2x+1为整数，x不一定为整数，
例如当x=1/2时，所以“x为整数”是
“2x+1为整数”的充分不必要条件，选A.

6. (2021·全国乙，理 3 改编)已知命题 $ p: \exists x \in \mathbf{R} $，$ \sin x ＜ 1 $，命题 $ q: \forall x \in \mathbf{R} $，$ e^{|x|} \geq 1 $，则下列说法正确的是(A)

A.$ p $ 真 $ q $ 真
B.$ p $ 真 $ q $ 假
C.$ p $ 假 $ q $ 真
D.$ p $ 假 $ q $ 假

答案： 6.A 解析 易知命题p是真命题,又当x∈
R时,|x|≥0,所以$e^{|x|}≥1,$即命题q也
是真命题，故选A.

例 1 (1) (2024·广州调研测试)已知 $ p: (x + 2)(x - 3) ＜ 0 $，$ q: |x - 1| ＜ 2 $，则 $ p $ 是 $ q $ 的(B)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 例1
(1)B
(2)D 解析
(1)由已知得
p:-2＜x＜3,q:-1＜x＜3.由于
{x|-1＜x＜3}⊆{x|-2＜x＜3},所以
p是q的必要不充分条件，故选B.

(2) (2024·河北石家庄模拟)已知复数 $ z_1 $，$ z_2 $，“$ z_2 ＞ z_1 $”是“$\frac{z_2}{z_1} ＞ 1$”的(D)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
(2)若$z_{2}＞z_{1},$可知复数$z_{1},z_{2}$都为实数，
当$z_{1}＜z_{2}＜0$时，有$z_{2}/z_{1}＜1,$所以充分性不
成立；反之，若$z_{2}/z_{1}＞1,$取复数$z_{1}=1+i,$
$z_{2}=2+2i,$满足$z_{2}/z_{1}=2＞1,$但此时复数
$z_{1},z_{2}$均为虚数，不能比较大小，因此必要
性不成立，所以$“z_{2}＞z_{1}”$是$“z_{2}/z_{1}＞1”$的既
不充分也不必要条件，故选D.

例 2 (1) (2024·重庆万州模拟)下列四个条件中，是“$ x ＜ y $”的一个充分不必要条件的是(C)
A.$ x^2 ＜ y^2 $
B.$ xz ＜ yz $
C.$ xz^{2024} ＜ yz^{2024} $
D.$ x + x^5 ＜ y + y^5 $

答案： 例2
(1)C
(2)A 解析
(1)若$x^{2}＜y^{2},$可
能有y＜x＜0,不能推出x＜y,充分性不
成立，故A错误；若xz＜yz,当z＜0时，
有x＞y,此时x＜y不成立，充分性不满
足，故B错误；由$xz^{2024}＜yz^{2024}$得z≠0
且$z^{2024}＞0,$此时x＜y成立，反之若x＜
y,当z=0时，$xz^{2024}＜yz^{2024}$不成立，故
C正确；设$f(x)=x+x^{5},$则f(x)在定义
域上单调递增，则由$x+x^{5}＜y+y^{5},$得
f(x)＜f(y),此时x＜y,反之也成立，即
$“x+x^{5}＜y+y^{5}”$是“x＜y”成立的充要条
件，故D错误，故选C.

(2) (2024·四川绵阳模拟)命题“$\forall x \in [-2, 3]$，$ x^2 - 2a \leq 0 $”是真命题的一个必要不充分条件是(A)
A.$ a \geq 1 $
B.$ a \geq \frac{9}{2} $
C.$ a \geq 5 $
D.$ a \leq 4 $

答案：
(2)若命题$“∀x∈[-2,3],x^{2}-2a≤0”$
是真命题，则$(x^{2}-2a)_{max}≤0,$可知当x=
3时$,x^{2}-2a$取到最大值9-2a≤0,解得
a≥9/2,所以命题$“∀x∈[-2,3],x^{2}-$
2a≤0”是真命题的充要条件是“a≥9/2”,
故B错误；因为a≥9/2⇒a≥1,a≥1⇒
a≥9/2,故“a≥1”是“a≥9/2”的必要不充
分条件，故A正确；因为a≥5⇒a≥9/2,
a≥9/2⇒a≥5,故“a≥5”是“a≥9/2”的充
分不必要条件，故C错误；因为{a|a≥
9/2}与{a|a≤4}不存在包含关系，所以
“a≤4”是“a≥9/2”的既不充分也不必要
条件，故D错误，故选A.