《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

3.一次分式函数
(1)一次分式函数的定义：形如$y = \frac{cx + d}{ax + b}(a \neq 0,ad \neq bc)$的函数称为一次分式函数.
(2)一次分式函数的图象和性质

答案：
(1) 定义域与值域：
定义域：$\{ x \mid x \neq -\frac{b}{a} \}$，
值域：$\{ y \mid y \neq \frac{c}{a} \}$。
(2) 对称中心：
对称中心为$\left( -\frac{b}{a}, \frac{c}{a} \right)$。
(3) 渐近线：
$x = -\frac{b}{a}$ 和 $y = \frac{c}{a}$。
(4) 单调性：
当 $ad ＞ bc$ 时，函数在区间 $\left( -\infty, -\frac{b}{a} \right)$ 和 $\left( -\frac{b}{a}, +\infty \right)$ 上单调递减；
当 $ad ＜ bc$ 时，函数在区间 $\left( -\infty, -\frac{b}{a} \right)$ 和 $\left( -\frac{b}{a}, +\infty \right)$ 上单调递增。
(5) 图象：
当 $ad ＞ bc$ 时，图象为双曲线，分别位于第二、四象限，对称中心为$\left( -\frac{b}{a}, \frac{c}{a} \right)$，渐近线为 $x = -\frac{b}{a}$ 和 $y = \frac{c}{a}$；
当 $ad ＜ bc$ 时，图象为双曲线，分别位于第一、三象限，对称中心为$\left( -\frac{b}{a}, \frac{c}{a} \right)$，渐近线为 $x = -\frac{b}{a}$ 和 $y = \frac{c}{a}$。

1.思考辨析(判断下列结论是否正确，正确的画``$\sqrt{}$'',错误的画``$×$'').
(1)函数$f(x) = 2x^{4}$是幂函数.()
(2)函数$f(x) = 2x + \frac{9}{x}$在区间$(0,3)$上单调递减.()
(3)函数$f(x) = \frac{2x}{x - 1}$的单调递减区间是$( - \infty,1) \cup (1, + \infty)$.()
(4)幂函数的图象若与坐标轴有交点，则交点一定是原点.()

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2.已知幂函数$y = f(x)$的图象过点$(2,\sqrt{2})$，求这个函数的解析式.

答案： 2.设$f(x)=x^{\alpha}$，依题意有$f(2)=2^{\alpha}=\sqrt{2}$，所以$\alpha=\frac{1}{2}$，故$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$.

3.证明幂函数$f(x) = \sqrt{x}$是增函数.

答案： 3.证明 函数的定义域是$[0,+\infty)$.$\forall x_{1},x_{2}\in[0,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，有$f(x_{1}) - f(x_{2})=\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}=\frac{(\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}})(\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}})}{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}}=\frac{x_{1} - x_{2}}{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}}$因为$x_{1}-x_{2}＜0$，$\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}＞0$，所以$f(x_{1})＜f(x_{2})$，即幂函数$f(x)=\sqrt{x}$是增函数.

4.(2023·天津，3)若$a = 1.01^{0.5},b = 1.01^{0.6},c = 0.6^{0.5},$则()

A.$c ＞ a ＞ b$
B.$c ＞ b ＞ a$
C.$a ＞ b ＞ c$
D.$b ＞ a ＞ c$

答案： 4.D 解析 因为函数$y = 1.01^{x}$为增函数，所以$1.01^{0.6}＞1.01^{0.5}＞1.01^{0}=1$.又$0.6^{0.5}＜0.6^{0}=1$，所以$1.01^{0.6}＞1.01^{0.5}＞0.6^{0.5}$，即$b＞a＞c$.故选D.

5.(2016·北京，文10)函数$f(x) = \frac{x}{x - 1}(x \geqslant 2)$的最大值为.

答案： 5.2 解析 由于$f(x)=1+\frac{1}{x - 1}$，所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减，从而在$[2,+\infty)$上单调递减，故最大值为$f(2)=2$.