《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

(1)(2021·新高考Ⅱ，1)在复平面内，复数 $\frac{2-\mathrm{i}}{1 - 3\mathrm{i}}$ 对应的点位于(A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案：
(1)A 解析$(1)\frac{2-i}{1-3i}=\frac{(2-i)(1+3i)}{10}=\frac{5+5i}{10}=\frac{1+i}{2}，$所以该复数对应的点为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})，$该点在第一象限.

(2)(2024·山东淄博实验中学模拟)设复平面上表示 $2-\mathrm{i}$ 和 $3 + 4\mathrm{i}$ 的点分别为点 $A$ 和点 $B$，则向量 $\overrightarrow{AB}$ 对应的复数在复平面上所对应的点位于(A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案：
(2)A 解析
(2)复平面上表示2-i和3+4i的点分别为点A和点B，则A(2,-1)，B(3,4)，所以向量$\overrightarrow{AB}=(1,5)，$所以向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.

(3)(2024·江西赣州模拟)已知复数 $z$ 满足 $|z+\mathrm{i}|=1$($\mathrm{i}$ 为虚数单位)，则 $|z-\mathrm{i}|$ 的最大值为(C)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案：
(3)C 解析
(3)设复数z在复平面中对应的点为Z，由题意可得|z+i|=|z-(-i)|=1，表示复平面中点Z到定点C(0,-1)的距离为1，所以点Z的轨迹为以C(0,-1)为圆心，半径r=1的圆.因为|z-i|表示复平面中点Z到定点B(0,1)的距离，所以|ZB|≤|BC|+r=2+1=3，即|z-i|的最大值为3.

(1)(2024·广东深圳红岭中学模拟)已知复数 $z=(1+\mathrm{i})\cdot(m - 2\mathrm{i})$ 在复平面内对应的点落在第一象限，则实数 $m$ 的取值范围为(A)

A.$(2,+\infty)$
B.$(0,2)$
C.$(-2,2)$
D.$(-\infty,-2)$

答案：
(1)A 解析
(1)z=(1+i)·(m-2i)=m+2+(m-2)i，在复平面内对应的点为(m+2,m-2)，由于点(m+2,m-2)在第一象限，所以$\begin{cases}m+2＞0,\\m-2＞0,\end{cases}$解得m＞2.

(2)(2024·湖北武汉模拟)如图，在复平面内，复数 $z_{1},z_{2}$ 对应的向量分别是 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$，则 $\frac{z_{1}+z_{2}}{\mathrm{i}\cdot z_{2}}=$(C)

[img]

A.$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$
B.$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$
C.$-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$
D.$-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$

答案：
(2)C 解析
(2)由题图知z₁=1-2i，z₂=1+i，所以$\frac{z₁+z₂}{i·z₂}=\frac{2-i}{i·(1+i)}=\frac{(2-i)(-i)}{(-1+i)(-i)}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i.$

例 4
(多选题)(2024·山东潍坊模拟)在复数范围内关于 $x$ 的实系数一元二次方程 $x^{2}+px + 2 = 0$ 的两根为 $x_{1},x_{2}$，其中 $x_{1}=1+\mathrm{i}$，则(BD)

A.$p = 2$
B.$x_{2}=1-\mathrm{i}$
C.$x_{1}\cdot\overline{x_{2}}=-2\mathrm{i}$
D.$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\mathrm{i}$

答案： BD 解析因为实系数一元二次方程x²+px+2=0的两根为x₁,x₂，且x₁=1+i，所以x₁x₂=2，可得$x₂=\frac{2}{x₁}=\frac{2}{1+i}=1-i，$故B正确；又x₁+x₂=1+i+1-i=2=-p，所以p=-2，故A错误；由x₂=1+i，所以x₁·x₂=(1+i)²=2i≠-2i，故C错误；$\frac{x₁}{x₂}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)²}{2}=i，$故D正确.
故选BD.

(2024·山东济南模拟)已知复数 $z_{1},z_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x + 3 = 0$ 的两根，则 $z_{1}z_{2}$ 的值为(D)

A.$-3$
B.$-2$
C.$2$
D.$3$
提醒
完成课时规范练 48(B 册)

答案： D 解析(方法一)由x²-2x+3=0，得$z₁=1+\sqrt{2}i，$$z₂=1-\sqrt{2}i，$所以$z₁z₂=(1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i)=3.$
(方法二)方程x²-2x+3=0，由韦达定理可得z₁z₂=3.