《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

例1 (1)(2024·山东日照模拟) 若$a = \frac{1}{2}\ln 2,b = \frac{2}{3}(\ln 3 - \ln 2),c = \frac{3}{4}(\ln 4 - \ln 3)$，则(B)

A.$a ＜ b ＜ c$
B.$c ＜ b ＜ a$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$b ＜ a ＜ c$

答案： 例1
(1)B 解析
(1)由于$a=\frac{1}{2}\ln2=\frac{\ln2}{2}$，$b=\frac{2}{3}(\ln3-\ln2)=\frac{\ln\frac{3}{2}}{\ln\frac{4}{3}}$，$c=\frac{3}{4}(\ln4-\ln3)=\frac{\ln\frac{4}{3}}{\ln3}$，所以令$f(x)=\frac{\ln x}{x}(x＞0)$，则$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$，
当$0＜x＜e$时$f'(x)＞0$，因此$f(x)$在区间$(0,e)$内单调递增，而$a=f(2)$，$b=f(\frac{3}{2})$，$c=f(\frac{4}{3})$，所以$a＞b＞c$，故选B.

(2)(2024·福建泉州检测) 已知正实数$m,n$满足$m^3 = 4,n^4 = 6$，则$m,n$的大小关系是$m＞n$.

答案：
(2)$m＞n$ 解析
(2)(方法一)由$m^{3}=4$，$n^{4}=6$，得$m=4^{\frac{1}{3}}$，
$n=6^{\frac{1}{4}}$，于是$\frac{m}{n}=\frac{4^{\frac{1}{3}}}{6^{\frac{1}{4}}}=\frac{(4^{4})^{\frac{1}{12}}}{(6^{3})^{\frac{1}{12}}}=\frac{256^{\frac{1}{12}}}{216^{\frac{1}{12}}}$，
由于$\frac{256}{216}＞1$，$\frac{1}{12}＞0$，所以$(\frac{256}{216})^{\frac{1}{12}}＞1$，即$\frac{m}{n}＞1$，且$m$，$n$均为正实数，所以$m＞n$.
(方法二)由$m^{3}=4$，$n^{4}=6$得$m^{12}=(m^{3})^{4}=4^{4}=256$，$n^{12}=(n^{4})^{3}=6^{3}=216$，因为$m^{12}＞n^{12}$，且$m$，$n$均为正实数，所以$m＞n$.

(3)(2024·云南昆明检测) 已知$a,b,c$为互不相等的实数，$P = a^2 + b^2 + c^2 + \frac{1}{c^2},Q = 2a + 2b$，则$P$与$Q$的大小关系为$P＞Q$.

答案：
(3)$P＞Q$ 解析
(3)$P-Q=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{c^{2}}-2a-2b=a^{2}-2a+1+b^{2}-2b+1+c^{2}+\frac{1}{c^{2}}-2=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+c^{2}+\frac{1}{c^{2}}-2$，因为$(a-1)^{2}\geq0$，$(b-1)^{2}\geq0$，$c^{2}+\frac{1}{c^{2}}-2\geq2\sqrt{c^{2}\cdot\frac{1}{c^{2}}}-2=0$，当且仅当$a=1$，$b=1$，$c=\pm1$时，等号成立，又$a$，$b$，$c$为互不相等的实数，所以$(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+c^{2}+\frac{1}{c^{2}}-2＞0$，故$P＞Q$.

例2 (1)(2024·浙江温州检测) 已知非零实数$a,b$，满足$a ＞ b$，则下列不等式中正确的是(A)

A.$a + c^2 ＞ b - c^2$
B.$|a| ＞ - b$
C.$2^a ＞ 2^{|b|}$
D.$a - \frac{1}{a} ＞ b - \frac{1}{b}$

答案： 例2
(1)A 解析
(1)对于A，因为$c^{2}\geq0$，则$-c^{2}\leq0$，又$a＞b$，所以$a+c^{2}\geq a＞b\geq b-c^{2}$，故A正确；对于B，若取$a=2$，$b=-3$，显然$|a|＜|-b|$，故B错误；对于C，取$a=1$，$b=-1$，满足$a＞b$，但$2^{a}=2=2^{b1}$，故C错误；对于D，取$a=1$，$b=-1$，满足$a＞b$，但$a-\frac{1}{a}=0=b-\frac{1}{b}$，
故D错误，故选A.

(2)(多选题)(2024·山东威海模拟) 已知$\frac{c^5}{b} ＜ \frac{c^5}{a} ＜ 0$，则下列不等式一定成立的有(BD)

A.$\frac{b}{a} ＞ 1$
B.$\frac{a - b}{c} ＜ 0$
C.$\frac{a}{b} ＜ \frac{a + c^2}{b + c^2}$
D.$bc ＜ ba$

答案：
(2)BD 解析
(2)由$\frac{c^{5}}{b}＜\frac{c^{5}}{a}＜0$，得$c\neq0$，当$c＞0$时，得$0＞\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$，即$a＜b＜0$；当$c＜0$时，得$0＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，即$a＞b＞0$，综上$a＜b＜0$或$a＞b＞0＞c$，上述两种情况均可得$0＜\frac{b}{a}＜1$，故A错误；当$a＜b＜0＜c$时，
得$\frac{a-b}{c}＜0$，当$a＞b＞0＞c$时，得$\frac{a-b}{c}＜0$，故B正确；令$a=-1$，$b=-\frac{1}{2}$，$c=1$，
则$\frac{a}{b}=2$，$\frac{a+c^{2}}{b+c^{2}}=\frac{-1+1}{-\frac{1}{2}+1}=0$，从而得$\frac{a}{b}＞\frac{a+c^{2}}{b+c^{2}}$，
故C错误；由上可知$bc＜0＜ba$恒成立，
故D正确，故选BD.

例3 已知$2 ＜ a ＜ 6,- 3 ＜ b ＜ 2$，试求$2a + b,a - 2b$的取值范围.$1＜2a+b＜14$，$-2＜a-2b＜12$
变式探究1
(变结论) 本例中，若条件不变，求$\frac{b}{a},ab^2$的取值范围.$-\frac{3}{2}＜\frac{b}{a}＜1$$0\leq ab^{2}＜54$
变式探究2
(变条件) 本例中，将条件改为“已知$- 1 ＜ x + 2y ＜ 4,2 ＜ 2x - 3y ＜ 3$”，求$4x + y$的取值范围.$(0,11)$

答案： 例3 解 因为$2＜a＜6$，所以$4＜2a＜12$，
又$-3＜b＜2$，所以$1＜2a+b＜14$.
因为$-3＜b＜2$，所以$-4＜-2b＜6$，又$2＜a＜6$，所以$-2＜a-2b＜12$.
变式探究1 解 因为$2＜a＜6$，所以$\frac{1}{6}＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$.
当$-3＜b＜0$时，$0＜ -b＜3$，因此$0＜-\frac{b}{a}＜\frac{3}{2}$，于是$-\frac{3}{2}＜\frac{b}{a}＜0$；当$b=0$时，$\frac{b}{a}=0$；当$0＜b＜2$时，$0＜\frac{b}{a}＜\frac{b}{2}＜1$.
综上，$-\frac{3}{2}＜\frac{b}{a}＜1$.
由于$-3＜b＜2$，又因为$2＜a＜6$，所以$0\leq ab^{2}＜54$.
变式探究2 解 设$4x+y=a(x+2y)+b(2x-3y)(a,b\in R)$，则$a+2b=4$，$2a-3b=1$，解得$a=2$，$b=1$.
因此$4x+y=2(x+2y)+(2x-3y)$.
由于$-1＜x+2y＜4$，$2＜2x-3y＜3$，所以$0＜2(x+2y)+(2x-3y)＜11$，即$0＜4x+y＜11$，故$4x+y$的取值范围是$(0,11)$.