《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

例 1 已知数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，且 $ S_n = 3n^2 + 2n $，则数列 $ \{ a_n \} $ 的通项公式 $ a_n = $$6n - 1$.
[课堂笔记]
| 变式探究 |
(变条件)本例中将“$ S_n = 3n^2 + 2n $”改为“$ S_n = 3n^2 + 2n + 1 $”，其余不变，则 $ \{ a_n \} $ 的通项公式 $ a_n = $$\begin{cases} 6, n = 1, \\ 6n - 1, n \geq 2 \end{cases}$.

答案： 例1 $6n - 1$ 解析由题知$S_{n}=3n^{2}+2n$，则$S_{n - 1}=3(n - 1)^{2}+2(n - 1)=3n^{2}-4n + 1(n\geqslant2)$，所以$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=6n - 1(n\geqslant2)$。又$a_{1}=S_{1}=5$，符合上式，所以$a_{n}=6n - 1(n\in\mathbf{N}^{*})$。
变式探究$\begin{cases}6,n = 1,\\6n - 1,n\geqslant2\end{cases}$ 解析由题知$S_{n}=3n^{2}+2n + 1$，则$S_{n - 1}=3(n - 1)^{2}+2(n - 1)+1=3n^{2}-4n + 2(n\geqslant2)$，所以$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=6n - 1(n\geqslant2)$。又$a_{1}=S_{1}=6$，不符合上式. 所以$a_{n}=\begin{cases}6,n = 1,\\6n - 1,n\geqslant2\end{cases}$。

例 2 数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，若 $ a_1 = 1 $，$ a_{n + 1} = 5S_n (n \geq 1) $，则 $ a_n = $(C)

A.$ 5 × 6^n $
B.$ 5 × 6^n + 1 $
C.$ \begin{cases} 1, n = 1, \\ 5 × 6^{n - 2}, n \geq 2 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} 1, n = 1, \\ 5 × 6^{n - 2} + 1, n \geq 2 \end{cases} $
[课堂笔记]解析(方法一)由已知$a_{n + 1}=5S_{n}(n\geq1)$，得当$n\geq2$时，$a_{n}=5S_{n - 1}$，两式相减得$a_{n + 1}-a_{n}=5a_{n}$，即$a_{n + 1}=6a_{n}$，所以$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=6(n\geq2)$。又$a_{2}=5S_{1}=5a_{1}=5$，所以$\frac{a_{2}}{a_{1}}=5$。因此数列$\{a_{n}\}$从第二项起是公比为$6$的等比数列，因此其通项公式为$a_{n}=\begin{cases}1,n = 1,\\5×6^{n - 2},n\geq2\end{cases}$。 故选C。
| 变式探究 |
(变条件)在本例中，若其他条件不变，将“$ a_{n + 1} = 5S_n (n \geq 1) $”改为“$ a_{n + 1} = 5S_n + 1 (n \geq 1) $”，再求 $ a_n $.解由已知$a_{n + 1}=5S_{n}+1(n\geq1)$，得当$n\geq2$时，$a_{n}=5S_{n - 1}+1$，两式相减得$a_{n + 1}-a_{n}=5a_{n}$，即$a_{n + 1}=6a_{n}$，所以$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=6(n\geq2)$。又$a_{2}=5S_{1}+1 = 6$，所以$\frac{a_{2}}{a_{1}}=6$，因此数列$\{a_{n}\}$是首项为$1$，公比为$6$的等比数列，因此其通项公式为$a_{n}=6^{n - 1}$。

答案： 例 2 C 解析(方法一)由已知$a_{n + 1}=5S_{n}(n\geqslant1)$，得当$n\geqslant2$时，$a_{n}=5S_{n - 1}$，两式相减得$a_{n + 1}-a_{n}=5a_{n}$，即$a_{n + 1}=6a_{n}$，所以$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=6(n\geqslant2)$。又$a_{2}=5S_{1}=5a_{1}=5$，所以$\frac{a_{2}}{a_{1}}=5$。因此数列$\{a_{n}\}$从第二项起是公比为$6$的等比数列，因此其通项公式为$a_{n}=\begin{cases}1,n = 1,\\5×6^{n - 2},n\geqslant2\end{cases}$。 故选C。
(方法二)由已知$a_{n + 1}=5S_{n}(n\geqslant1)$，得当$n\geqslant1$时，$S_{n + 1}-S_{n}=5S_{n}$，于是$S_{n + 1}=6S_{n}$，所以$\frac{S_{n + 1}}{S_{n}}=6$，因此数列$\{S_{n}\}$是首项为$1$，公比为$6$的等比数列，则$S_{n}=6^{n - 1}$。于是当$n\geqslant2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=6^{n - 1}-6^{n - 2}=5×6^{n - 2}$，又$a_{1}=1$不适合上式，因此数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\begin{cases}1,n = 1,\\5×6^{n - 2},n\geqslant2\end{cases}$。 故选C。
变式探究 解由已知$a_{n + 1}=5S_{n}+1(n\geqslant1)$，得当$n\geqslant2$时，$a_{n}=5S_{n - 1}+1$，两式相减得$a_{n + 1}-a_{n}=5a_{n}$，即$a_{n + 1}=6a_{n}$，所以$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=6(n\geqslant2)$。又$a_{2}=5S_{1}+1 = 6$，所以$\frac{a_{2}}{a_{1}}=6$，因此数列$\{a_{n}\}$是首项为$1$，公比为$6$的等比数列，因此其通项公式为$a_{n}=6^{n - 1}$。